Relações trigonométricas - Resumo Nível Médio

Neste resumo abordarei as relações trigonométricas necessárias para se resolver a maioria dos exercícios que envolvem vetores.

Ângulos

Na matemática, ângulo é a medida da abertura formada no encontro de duas semirretas.

Figura 1. Ângulo.

Seu valor pode ser dado em graus (°) ou em radianos (rad). A imagem abaixo mostra alguns possíveis valores de ângulos. Note que uma volta completa é obtida quando se atinge 360° (2π rad) e, a partir disso, tudo se repete.

Figura 2. Alguns valores angulares.

A conversão entre graus e radianos pode ser feita através de regra de três direta, onde, por exemplo, sabe-se que 360° equivale a 2π rad.

Triângulo retângulo

Um triângulo é retângulo quando um de seus ângulos possui 90°. O maior de seus lados, que é oposto ao ângulo de 90°, é chamado de hipotenusa; os outros dois lados são chamados de catetos.

Figura 3. Triângulo retângulo.

Como em qualquer outro triângulo, a soma de seus ângulos deve resultar em 180°.

\begin{equation} \begin{aligned} \alpha + \beta + 90° &= 180° \\ \alpha + \beta &= 90° \end{aligned} \end{equation}

Assim, dado um de seus ângulos, podemos calcular o valor do outro diretamente.

Teorema de Pitágoras

O teorema de Pitágoras afirma que o quadrado da hipotenusa é igual à soma do quadrado dos catetos.

\begin{equation} h^2 = a^2 + b^2 \end{equation}

A relação acima é útil quando temos valores de dois dos lados e desejamos saber o valor do terceiro lado.

Razões trigonométricas

Dado um triângulo retângulo, há três razões trigonométricas fundamentais que relacionam um ângulo com dois lados: o seno, o cosseno e a tangente.

Seno

O seno de um ângulo é dado pela razão entre o cateto oposto à esse ângulo e a hipotenusa.

\begin{equation} \sin{\theta} = \frac{\text{cat. op.}}{\text{hip.}} \end{equation}

No caso do triângulo da Figura 3,

$$ \sin{\alpha} = \frac{a}{h} $$

e

$$ \sin{\beta} = \frac{b}{h} \text{.} $$

Cosseno

O cosseno de um ângulo é dado pela razão entre o cateto adjacente à esse ângulo e a hipotenusa.

\begin{equation} \cos{\theta} = \frac{\text{cat. ad.}}{\text{hip.}} \end{equation}

Voltando à Figura 3,

$$ \cos{\alpha} = \frac{b}{h} $$

e

$$ \cos{\beta} = \frac{a}{h} \text{.} $$

Tangente

A tangente de um ângulo é dada pela razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente, é o mesmo que dividir o seno pelo cosseno.

\begin{equation} \tan{\theta} = \frac{\text{cat. op.}}{\text{cat. ad.}} = \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}} \end{equation}

No caso da Figura 3,

$$ \tan{\alpha} = \frac{a}{b} $$

e

$$ \tan{\beta} = \frac{b}{a} \text{.} $$

Lei dos cossenos

Dado um triângulo qualquer, temos a seguinte relação entre um ângulo e seus três lados:

Figura 4. Triângulo.
\begin{equation} c^2 = a^2 + b^2 -2ab\cos{\theta} \end{equation}

Ângulos notáveis

Há alguns ângulos que possuem seus senos, cossenos e tangentes amplamente conhecidos e utilizados. Por isso, é importante conhecê-los.

30°
45°
60°
90°
$\sin$
$0$
$\frac{1}{2}$
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$1$
$\cos$
$1$
$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\frac{1}{2}$
$0$
$\tan$
$0$
$\frac{\sqrt{3}}{3}$
$1$
$\sqrt{3}$
-
Tabela 1. Ângulos notáveis.

Esses são os ângulos que aparecem com mais frequência. Outros valores de ângulos podem aparecer, mas deixarei esse assunto nas mãos do seu professor de matemática.



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