Neste resumo abordarei as relações trigonométricas necessárias para se resolver a maioria dos exercícios de física que envolvem vetores.
Ângulos
Na matemática, ângulo é a medida da abertura formada no encontro de duas semirretas.
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Figura 1. Ângulo formado por dois segmentos de reta. |
Seu valor pode ser dado em graus (°) ou em radianos (rad).
A imagem abaixo mostra alguns possíveis valores de ângulos.
Note que uma volta completa é obtida quando se atinge $360°$
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Figura 2. Alguns valores angulares. |
A conversão entre graus e radianos pode ser feita através da regra de três direta, onde, por exemplo, sabe-se que $360°$ equivale a
Triângulo retângulo
Um triângulo é retângulo quando um de seus ângulos, chamado de ângulo reto, possui 90°. O maior de seus lados, que é oposto ao ângulo de 90°, é chamado de hipotenusa; os outros dois lados são chamados de catetos.
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Figura 3. Triângulo retângulo.
O ângulo reto está representado pelo símbolo ⊡. |
Como em qualquer outro triângulo, a soma de seus ângulos deve resultar em 180°.
\begin{equation} \begin{aligned} \alpha + \beta + 90° &= 180° \\ \alpha + \beta &= 90° \end{aligned} \end{equation}Assim, dado um de seus ângulos, podemos calcular o valor do outro diretamente.
Teorema de Pitágoras
O teorema de Pitágoras afirma que o quadrado da hipotenusa é igual à soma do quadrado dos catetos.
\begin{equation} h^2 = a^2 + b^2 \end{equation}A relação acima é útil quando temos valores de dois dos lados e desejamos saber o valor do terceiro lado.
Razões trigonométricas
Dado um triângulo retângulo, há três razões trigonométricas fundamentais que relacionam um ângulo com dois dos lados: o seno, o cosseno e a tangente.
Seno
O seno de um ângulo é dado pela razão entre o cateto oposto a esse ângulo e a hipotenusa.
\begin{equation} \sin{\theta} = \frac{\text{cat. op.}}{\text{hip.}} \end{equation}No caso do triângulo da Figura 3,
\begin{equation} \sin{\alpha} = \frac{a}{h} \end{equation}e
\begin{equation} \sin{\beta} = \frac{b}{h} \text{.} \end{equation}Cosseno
O cosseno de um ângulo é dado pela razão entre o cateto adjacente a esse ângulo e a hipotenusa.
\begin{equation} \cos{\theta} = \frac{\text{cat. ad.}}{\text{hip.}} \end{equation}Voltando à Figura 3,
\begin{equation} \cos{\alpha} = \frac{b}{h} \end{equation}e
\begin{equation} \cos{\beta} = \frac{a}{h} \text{.} \end{equation}Tangente
A tangente de um ângulo é dada pela razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente, é o mesmo que dividir o seno pelo cosseno.
\begin{align} \begin{split} \tan{\theta} &= \frac{\text{cat. op.}}{\text{cat. ad.}}\\ &= \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}} \end{split} \end{align}No caso da Figura 3,
\begin{equation} \tan{\alpha} = \frac{a}{b} \end{equation}e
\begin{equation} \tan{\beta} = \frac{b}{a} \text{.} \end{equation}Lei dos cossenos
Dado um triângulo qualquer, como o da Figura 4, temos a seguinte relação entre um ângulo e seus três lados:
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Figura 4. Triângulo. |
Ângulos notáveis
Há alguns ângulos que possuem seus senos, cossenos e tangentes amplamente conhecidos e utilizados. Por isso, é importante conhecê-los.
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Tabela 1. Ângulos notáveis. |
Esses são os ângulos que aparecem com mais frequência. Outros valores de ângulos podem aparecer, mas deixarei esse assunto nas mãos do seu professor de matemática. 😁
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