Enem 2019 - 2ª Aplicação - Questão resolvida #05

(Enem 2019) Astrônomos medem a velocidade de afastamento de galáxias distantes pela detecção da luz emitida por esses sistemas. A Lei de Hubble afirma que a velocidade de afastamento de uma galáxia (em km/s) é proporcional à sua distância até a Terra, medida em megaparsec (Mpc). Nessa lei, a constante de proporcionalidade é a constante de Hubble ($H_0$) e seu valor mais aceito é de 72 (km/s)/Mpc. O parsec (pc) é uma unidade de distância utilizada em astronomia que vale aproximadamente 3 × 10¹⁶ m. Observações astronômicas determinaram que a velocidade de afastamento de uma determinada galáxia é de 1 440 km/s.

Utilizando a Lei de Hubble, pode-se concluir que a distância até essa galáxia, medida em km, é igual a:

a) 20 × 10⁰ b) 20 × 10⁶ c) 6 × 10²⁰ d) 6 × 10²³ e) 6 × 10²⁶

Como afirmado no enunciado, a velocidade $v$ de afastamento de uma galáxia é proporcional à sua distância $d$ até a Terra.

\begin{equation} v \propto d \end{equation}

Ainda do enunciado, a constante de proporcionalidade é $H_0$,

\begin{equation} v = H_0 \, d \text{,} \end{equation}

ou melhor,

\begin{equation} d = \frac{v}{H_0} \text{.} \end{equation}

Devemos substituir os valores de $v$ e $H_0$ tomando cuidado com as unidades:

\begin{equation} \begin{split} d &= \frac{v}{H_0} \\ &= \frac{1 440}{72} \ \frac{\text{km/s}}{\text{(km/s)/Mpc}} \\ &= 20 \ \frac{1}{1/\text{Mpc}} \\ &= 20 \ \text{Mpc} \text{.} \end{split} \end{equation}

Na unidade Mpc, o prefixo M é chamado de mega, e equivale ao fator de escala 10⁶. Então,

\begin{equation} \begin{split} d &= 20 \ \text{Mpc} \\ &= 20 \cdot 10^6 \ \text{pc} \text{.} \end{split} \end{equation}

Mas a questão exige que a resposta seja dada em km, e não em pc. Uma vez que 1 pc equivale à 3 × 10¹⁶ m, ou, em quilômetros, 3 × 10¹³ km, podemos, rapidinho, fazer uma regra de três para chegarmos à resposta.

\begin{matrix} \text{pc} & \text{km} \\ 1 & 3 \cdot 10^{13} \\ 20 \cdot 10^6 & x \end{matrix}

Multiplicando em cruz, temos:

\begin{equation} \begin{split} x &= 20 \cdot 10^6 \cdot 3 \cdot 10^{13} \\ &= 60 \cdot 10^{19} \ \text{km} \\ &= 6 \cdot 10^{20} \ \text{km} \text{.} \end{split} \end{equation}

Resposta: c.

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