Enem 2020 - Questão resolvida #11

(Enem 2020) Dois engenheiros estão verificando se uma cavidade perfurada no solo está de acordo com o planejamento de uma obra, cuja profundidade requerida é de 30 m. O teste é feito por um dispositivo denominado oscilador de áudio de frequência variável, que permite relacionar a profundidade com os valores da frequência de duas ressonâncias consecutivas, assim como em um tubo sonoro fechado. A menor frequência de ressonância que o aparelho mediu foi 135 Hz. Considere que a velocidade do som dentro da cavidade perfurada é de 360 m s^-1.

Se a profundidade estiver de acordo com o projeto, qual será o valor da próxima frequência de ressonância que será medida?

a) 137 Hz. b) 138 Hz. c) 141 Hz. d) 144 Hz. e) 159 Hz.

Em um tubo fechado de comprimento $L$, as frequências de ressonância são dadas por

\begin{equation} f = i \frac{v}{4L} \text{,} \end{equation}

onde $v$ é a velocidade do som e $i$ é um inteiro ímpar relacionado à ordem do harmônico. Ou seja,

\begin{equation} i = f \frac{4L}{v} \text{.} \end{equation}

Através da Equação (2) e dos dados do enunciado, podemos calcular o número $i_1$ do harmônico para a menor frequência $f_1=135 \ \text{Hz}$ medida:

\begin{equation} \begin{split} i_1 &= f_1 \frac{4L}{v} \\ &= 135 \cdot \frac{4 \cdot 30}{360} \\ &= 45 \text{.} \end{split} \end{equation}

Então, o próximo harmônico consecutivo que o aparelho detectará será o próximo inteiro ímpar depois do 45, ou seja, $i_2 = i_1 + 2 = 47$. Com esta informação, e utilizando a Equação (1), podemos chegar ao valor da respectiva frequência consecutiva:

\begin{equation} \begin{split} f_2 &= i_2 \frac{v}{4L} \\ &= 47 \frac{360}{4 \cdot 30} \\ &= 141 \ \text{Hz} \text{.} \end{split} \end{equation}

Resposta: c.

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