Enem 2021 - Questão resolvida #09

(Enem 2021) Na montagem de uma cozinha para um restaurante, a escolha do material correto para as panelas é importante, pois a panela que conduz mais calor é capaz de cozinhar os alimentos mais rapidamente e, com isso, há economia de gás. A taxa de condução do calor depende da condutividade $k$ do material, de sua área $A$, da diferença de temperatura $\Delta T$ e da espessura $d$ do material, sendo dada pela relação $\frac{\Delta Q}{\Delta t} = kA \frac{\Delta T}{d}$. Em panelas com dois materiais, a taxa de condução é dada por $\frac{\Delta Q}{\Delta t} = A \frac{\Delta T}{d_1 / k_1 + d_2 / k_2}$, em que $d_1$ e $d_2$ são as espessuras dos dois materiais, e $k_1$ e $k_2$ são as condutividades de cada material. Os materiais mais comuns no mercado para panelas são o alumínio ($k = 20 \ \text{W/m} \ \text{K}$), o ferro ($k = 8 \ \text{W/m} \ \text{K}$) e o aço ($k = 5 \ \text{W/m} \ \text{K}$) combinado com o cobre ($k = 40 \ \text{W/m} \ \text{K}$).

Compara-se uma panela de ferro, uma de alumínio e uma composta de $\frac{1}{2}$ da espessura em cobre e $\frac{1}{2}$ da espessura em aço, todas com a mesma espessura total e com a mesma área de fundo.

A ordem crescente da mais econômica para a menos eonômica é

a) cobre-aço, alumínio e ferro. b) alumínio, cobre-aço e ferro. c) cobre-aço, ferro e alumínio. d) alumínio, ferro e cobre-aço. e) ferro, alumínio e cobre-aço.

Parafraseando o enunciado, para apenas um material, "a taxa de condução do calor depende da condutividade $k$ do material, de sua área $A$, da diferença de temperatura $\Delta T$ e da espessura $d$ do material," sendo dada por:

\begin{equation} \frac{\Delta Q}{\Delta t} = kA \frac{\Delta T}{d} \text{.} \end{equation}

Para uma panela inteira de ferro,

\begin{equation} \frac{\Delta Q_\text{f}}{\Delta t} = 8 A \frac{\Delta T}{d} \text{.} \end{equation}

Para uma panela de alumínio,

\begin{equation} \frac{\Delta Q_\text{a}}{\Delta t} = 20 A \frac{\Delta T}{d} \text{.} \end{equation}

Já para dois materiais de espessuras $d_1$ e $d_2$, devemos considerar a outra relação presente no enunciado:

\begin{equation} \frac{\Delta Q}{\Delta t} = A \frac{\Delta T}{\frac{d_1}{k_1} + \frac{d_2}{k_2}} \text{,} \end{equation}

assim, para a panela com espessura metade cobre, $d_1=d/2$, e metade aço, $d_2=d/2$, temos:

\begin{align} \begin{split} \frac{\Delta Q_\text{c-a}}{\Delta t} &= A \frac{\Delta T}{\frac{d/2}{40} + \frac{d/2}{5}} \\ &= A \frac{\Delta T}{\frac{d}{80} + \frac{d}{10}} \\ &= A \frac{\Delta T}{\frac{d+8d}{80}} \\ &= A \frac{\Delta T}{\frac{9d}{80}} \\ &= A \frac{80}{9d} \Delta T \\ &\approx 8,9 A \frac{\Delta T}{d} \text{.} \end{split} \end{align}

Então, considerando a mesma diferença de temperatura $\Delta T$ e os mesmos $d$ e $A$ para as três panelas:

\begin{equation} \frac{\Delta Q_\text{a}}{\Delta t} > \frac{\Delta Q_\text{c-a}}{\Delta t} >\frac{\Delta Q_\text{f}}{\Delta t} \text{.} \end{equation}

Resposta: b.

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