Fuvest 2017 - Questão 59 (Prova V - 1ª Fase)

(Fuvest 2017) Objetos em queda sofrem os efeitos da resistência do ar, a qual exerce uma força que se opõe ao movimento desses objetos, de tal modo que, após um certo tempo, eles passam a se mover com velocidade constante. Para uma partícula de poeira no ar, caindo verticalmente, essa força pode ser aproximada por $\vec{F}_\textrm{a}=-b\vec{v}$, sendo $\vec{v}$ a velocidade da partícula de poeira e b uma constante positiva. O gráfico mostra o comportamento do módulo da força resultante sobre a partícula, $\vec{F}_\textrm{R}$, como função de v, o módulo de $\vec{v}$.

O valor da constante b, em unidades de N·s/m, é

Note e adote:
O ar está em repouso


A questão nos diz que uma partícula em queda não está sujeita apenas à ação da gravidade (força $\vec{P}$), pois, devido à resistência do ar, a força $\vec{F}_\textrm{a}=-b\vec{v}$ também atuará sobre ela.

A força resultante $\vec{F}_\textrm{R}$ que a partícula experimenta é: $$ \begin{aligned} \vec{F}_\textrm{R} &= \vec{P}+\vec{F}_\textrm{a} \\ &= \vec{P}-b\vec{v} \end{aligned} $$

Em módulo, temos a seguinte equação a ser resolvida: $$ \begin{equation} \label{FUVEST2017Q59PV1F_modFR} F_\textrm{R} = P-bv \end{equation} $$ onde adotamos o sentido para baixo como sendo positivo.

Devemos substituir os valores do gráfico na equação acima para encontrarmos o valor da constante b. De um lado, observe que FR = 3 × 10-14 N quando v = 0 m/s. Assim, da equação ($\ref{FUVEST2017Q59PV1F_modFR}$): $$ 3 \cdot {10}^{-14} = P-b \cdot 0$$ $$ P = 3 \times {10}^{-14} \textrm{ N} $$ Por outro lado, observe que FR = 0 N quando v = 1 × 10-4 m/s. Vamos substituí-los também na equação ($\ref{FUVEST2017Q59PV1F_modFR}$) e utilizar o valor de P obtido acima: $$ 0 = P-b \cdot 1 \cdot {10}^{-4} $$ $$ b = \frac{P}{1 \cdot {10}^{-4}} = \frac{ 3 \cdot {10}^{-14} }{ 1 \cdot {10}^{-4}} $$ $$ b = 3,0 \times {10}^{-10} \textrm{ N·s/m} $$

Resposta: e

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