Fuvest 2017 - Questão 60 (Prova V - 1ª Fase)

(Fuvest 2017) Helena, cuja massa é 50 kg, pratica o esporte radical bungee jumping. Em um treino, ela se solta da beirada de um viaduto, com velocidade inicial nula, presa a uma faixa elástica de comprimento natural L0 = 15 m e constante elástica k = 250 N/m. Quando a faixa está esticada 10 m além de seu comprimento natural, o módulo da velocidade de Helena é

Note e adote:
Aceleração da gravidade: 10 m/s2.
A faixa é perfeitamente elástica; sua massa e efeitos dissipativos devem ser ignorados.


A energia total do sistema deve se conservar, ou seja, a energia total no momento inicial deve ser igual à energia total no instante final.

$$ \begin{equation} \label{FUVEST2017Q60PV1F_balanco} E_{\textrm{T}_\textrm{i}} = E_{\textrm{T}_\textrm{f}} \end{equation} $$

No instante inicial o sistema possui apenas energia potencial gravitacional. Não possui energia cinética, pois a velocidade inicial de Helena é nula (vi = 0); nem energia potencial elástica, pois a faixa está em seu comprimento natural (não está esticada, xi = 0).

$$ \begin{aligned} \require{cancel} E_{\textrm{T}_\textrm{i}} &= \underbrace{mgh_\textrm{i}}_{\textrm{p. grav.}} + \underbrace{\cancel{\frac{\mathstrut mv_{\textrm{i}}^2}{2}}^0}_{\textrm{cinética}} + \underbrace{\cancel{\frac{\mathstrut kx_{\textrm{i}}^2}{2}}^0}_{\textrm{p. elástica}} \\ &= mgh_\textrm{i} \end{aligned} $$

Já no instante final, o sistema possui as energias cinética e potencial elástica. Não possui energia potencial gravitacional pois Helena atingiu a altura hf = 0, como definido na imagem abaixo.

Imagem: De Um Físico.

$$ \begin{aligned} \require{cancel} E_{\textrm{T}_\textrm{f}} &= \underbrace{\cancel{mgh_\textrm{f}}^0}_{\textrm{p. grav.}} + \underbrace{\frac{\mathstrut mv_{\textrm{f}}^2}{2}}_{\textrm{cinética}} + \underbrace{\frac{\mathstrut kx_{\textrm{f}}^2}{2}}_{\textrm{p. elástica}} \\ &= \frac{\mathstrut mv_{\textrm{f}}^2}{2} + \frac{\mathstrut kx_{\textrm{f}}^2}{2} \end{aligned} $$

Assim, o balanço de energia do sistema, expresso na equação (\ref{FUVEST2017Q60PV1F_balanco}), fica na seguinte forma:

$$mgh_i = \frac{\mathstrut mv_{f}^2}{2} + \frac{\mathstrut kx_{f}^2}{2}$$

Partindo da equação acima, depois de um pouco de ginástica (álgebra), vf pode ser isolado: $$v_f = \sqrt{\mathstrut 2gh_i-\frac{\mathstrut kx_{f}^2}{m} }$$

Resta-nos, agora, substituir os valores de g, m, k, xf e hi.

$$ \begin{aligned} v_\textrm{f} &= \sqrt{\mathstrut 2 {\cdot} 10 {\cdot} (15+10) - \frac{\mathstrut 250 {\cdot} (10)^2}{50} } \\ &= \sqrt{\mathstrut 500 - 500} \\ &= 0 \end{aligned} $$

Este resultado é particularmente interessante pois, qualitativamente, podemos concluir que o bungee jumping atingiu seu ponto de retorno uma vez que a velocidade de Helena tornou-se nula. Em outras palavras, a Helena não sobreviveu se a altura do viaduto for menor do que 25 cm

Resposta: a

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