Ordem de operações aritméticas - Resumo Nível Médio

Neste primeiro resumo abordarei algumas regras da matemática que determinam quais das operações básicas devem ser calculadas primeiro: parênteses, multiplicação, divisão, adição ou subtração.

Antes de começarmos, vale a pena ressaltar algo que provavelmente você já deve estar cansado de saber:

  • números precedidos do símbolo de mais, $+$, ou de nenhum símbolo, são positivos e devem ser somados (exemplos: $ \, +2 \, $, $ \, 7 \, $, $ \, +1,5 \, $);
  • números precedidos do símbolo de menos, $-$, são negativos e devem ser subtraídos (exemplos: $ \, -3 \, $, $ \, -9,8 \, $, $ \, -11 \, $);
  • as multiplicações podem ser representadas pelos símbolos $ \cdot \, $ e $ \times $;
  • as divisões podem ser representadas pelos símbolos $ / \, $, $ : \, $ e $ \div \, $.

Parênteses

Prioridade deve ser dada aos parênteses, cujo par é representado por $( \, )$. Via de regra, você deve iniciar suas contas dentro do par de parênteses mais interno.

Exemplo 1
\begin{equation*} 19 - (2 \times (8 + 1)) \\ 19 - (2 \times (9)) \\ 19 - (2 \times 9) \\ 19 - (18) \\ 19 - 18 \\ 1 \end{equation*}

Se houver dois ou mais pares de parênteses no mesmo nível, qualquer um poderá ser resolvido primeiro.

Exemplo 2
\begin{equation*} (4+1) \times (2+2) \\ 5 \times (2+2) \\ 5 \times 4 \\ 20 \end{equation*}

Note que a conta a seguir leva ao mesmo resultado.

\begin{equation*} (4+1) \times (2+2) \\ (4+1) \times 4 \\ 5 \times 4 \\ 20 \end{equation*}

Os pares de parênteses mais externos podem ser trocados por colchetes, $[ \ ]$, ou chaves, $\{ \, \}$, isso vai depender do estilo de quem está calculando.

Exemplo 3
\begin{equation*} 3+\{19 - [2 \cdot (8 + 1)]\} \\ 3+\{19 - [2 \cdot 9]\} \\ 3+\{19 - 18\} \\ 3+1 \\ 4 \end{equation*}

Note, através do Exemplo 3, que a prioridade é a mesma: sempre partir do par mais interno.

Multiplicação e divisão

Depois dos parênteses, devemos dar prioridade às operações de multiplicação e divisão. Podemos começar por qualquer uma das duas.

Exemplo 4
\begin{equation*} 2 \cdot {4/2} + 1 \\ 2 \cdot 2 + 1 \\ 4 + 1 \\ 5 \end{equation*}

A conta abaixo leva ao mesmo resultado.

\begin{equation*} 2 \cdot {4/2} + 1 \\ 8/2 + 1 \\ 4 + 1 \\ 5 \end{equation*}

Adição e subtração

Por fim, as últimas operações a serem realizadas são as de adição e subtração. Podemos começar por qualquer uma delas.

Exemplo 5
\begin{equation*} 4 \div 2 + 3 \times 2 - 1 \\ 2 + 3 \times 2 - 1 \\ 2 + 6 - 1 \\ 7 \end{equation*}

Regra de sinais

Quando dois ou mais sinais estiverem competindo, podemos, dois a dois, transformá-los em um único sinal, seguindo as informações da Tabela 1.

Tabela 1. Regra de sinais.
Sinais Resultado
$++$
$+$
$--$
$+$
$+-$
$-$
$-+$
$-$

Dois sinais iguais resultam em sinal positivo, $+$; dois sinais diferentes resultam em sinal negativo, $-$.

Exemplo 6
\begin{equation*} -3 \times (3-5) + 4 \times(-3) \\ -3 \times (-2) + 4 \times(-3) \\ 6 + 4 \times(-3) \\ 6-12\\ -6 \end{equation*}

Problema resolvido

Vamos calcular a expressão

\begin{equation*} ((3 + 4) + 10 \div 2 - 2 \times 1) \times (3-1) \text{.} \end{equation*}

Iniciarei calculando o par de parênteses mais interno.

\begin{equation*} (7 + 10 \div 2 - 2 \times 1) \times (3-1) \end{equation*}

Podemos prosseguir com qualquer par de parênteses restante, partirei para o da direita.

\begin{equation*} (7 + 10 \div 2 - 2 \times 1) \times 2 \end{equation*}

Agora trabalharei dentro do esquerdo, darei prioridade às multiplicações e divisões.

\begin{equation*} (7 + 5 - 2) \times 2 \\ 10 \times 2 \end{equation*}

E por fim, a ultima operação.

\begin{equation*} 20 \end{equation*}

Palavras finais

Pode ser que você se depare com alguma expressão mal escrita e isto fará com que fique em dúvida. Neste caso a culpa não é sua, então sugiro que resolva a expressão matemática no sentido ocidental de leitura (da esquerda para a direita).



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