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Ordem de operações aritméticas (resumo nível médio)

Operações numéricas numa lousa de sala de aula

Neste primeiro resumo de nível médio, veremos algumas regras da matemática que determinam quais das operações básicas devem ser calculadas primeiro: parênteses, multiplicação, divisão, adição ou subtração.

Mais e menos

Antes de começarmos, vale a pena ressaltar algo que você provavelmente já deve estar cansado de saber:

  • números precedidos do símbolo de mais, $+$, ou de nenhum símbolo, são positivos (exemplos: $ +2 $, $ 7 $, $+1{,}5$);
  • números precedidos do símbolo de menos, $-$, são negativos (exemplos: $-3 $, $-9{,}8$, $-11$);
  • as multiplicações podem ser representadas pelos símbolos $ \cdot $ e $ \times $;
  • as divisões podem ser representadas pelos símbolos $ / $, $ : $ e $ \div $.

Parênteses

Prioridade deve ser dada aos parênteses, cujo par é representado por $( \, )$. Via de regra, devemos iniciar nossas contas dentro do par de parênteses mais interno.

Exemplo 1

Como um primeiro exemplo, vamos encontrar o resultado da expressão $19 - (2 \times (8 + 1))$:

\begin{equation*} 19 - (2 \times (8 + 1)) \\ 19 - (2 \times (9)) \\ 19 - (2 \times 9) \\ 19 - (18) \\ 19 - 18 \\ 1 \pt \end{equation*}

Se houver dois ou mais pares de parênteses no mesmo nível, qualquer um poderá ser resolvido primeiro.

Exemplo 2

Vamos calcular $(4+1) \times (2+2)$:

\begin{equation*} (4+1) \times (2+2) \\ 5 \times (2+2) \\ 5 \times 4 \\ 20 \pt \end{equation*}

Note que a conta a seguir leva ao mesmo resultado:

\begin{equation*} (4+1) \times (2+2) \\ (4+1) \times 4 \\ 5 \times 4 \\ 20 \pt \end{equation*}

Os pares de parênteses mais externos podem ser trocados por chaves, $\{ \, \}$, e os intermediários por colchetes, $[ \ ]$.

Exemplo 3

Vamos calcular a expressão $3+\{19 - [2 \cdot (8 + 1)]\}$:

\begin{equation*} 3+\{19 - [2 \cdot (8 + 1)]\} \\ 3+\{19 - [2 \cdot 9]\} \\ 3+\{19 - 18\} \\ 3+1 \\ 4 \pt \end{equation*}

Note, através do Exemplo 3, que a prioridade é a mesma: sempre partir do par mais interno.

Multiplicação e divisão

Depois dos parênteses, devemos dar prioridade às operações de multiplicação e divisão. Podemos começar por qualquer uma das duas.

Exemplo 4

Neste exemplo, vamos calcular $2 \cdot {4/2} + 1$:

\begin{equation*} 2 \cdot {4/2} + 1 \\ 2 \cdot 2 + 1 \\ 4 + 1 \\ 5 \pt \end{equation*}

A conta abaixo leva ao mesmo resultado:

\begin{equation*} 2 \cdot {4/2} + 1 \\ 8/2 + 1 \\ 4 + 1 \\ 5 \pt \end{equation*}

Adição e subtração

Por fim, as últimas operações a serem realizadas são as de adição e subtração. Podemos começar por qualquer uma delas.

Exemplo 5

Observe, a seguir, uma maneira de encontrar o resultado de $4 \div 2 + 3 \times 2 - 1$.

\begin{equation*} 4 \div 2 + 3 \times 2 - 1 \\ 2 + 3 \times 2 - 1 \\ 2 + 6 - 1 \\ 7 \end{equation*}

Regra de sinais

Quando dois ou mais sinais estiverem competindo, podemos, dois a dois, transformá-los em um único sinal, seguindo as informações da Tabela 1.

Tabela 1. Regra de sinais.
Sinais Resultado
$++$
$+$
$--$
$+$
$+-$
$-$
$-+$
$-$

Dois sinais iguais resultam em sinal positivo, $+$; dois sinais diferentes resultam em sinal negativo, $-$.

Exemplo 6

Abaixo, calcularemos $-3 \times (3-5) + 4 \times(-3)$ para mostrar como podemos trabalhar com os sinais.

\begin{equation*} -3 \times (3-5) + 4 \times(-3) \\ -3 \times (-2) + 4 \times(-3) \\ 6 + 4 \times(-3) \\ 6-12\\ -6 \end{equation*}

Problema resolvido

Vamos calcular a expressão abaixo.

$$ ((3 + 4)+10 \div 2 - 2 \times 1)\times (3-1) $$

Começaremos calculando o par de parênteses mais interno:

$$ (7 + 10 \div 2 - 2 \times 1) \times (3-1) \pt $$

Podemos prosseguir para qualquer par de parênteses restante. Vamos partir para o da direita:

$$ (7 + 10 \div 2 - 2 \times 1) \times 2 \pt $$

Agora, trabalharemos dentro do par da esquerda. Devemos dar prioridade às multiplicações e divisões:

$$ (7 + 5 - 2) \times 2 \pt$$

Ainda:

$$ 10 \times 2 \pt $$

E, por fim, a ultima operação:

$$ 20 \pt $$

Palavras finais

Em algum momento, pode ser que você se depare com alguma expressão mal escrita, $3\ / \ 4 \times 2 $ por exemplo, e isto fará com que fique em dúvida. Nesse caso, a culpa não é sua. Então, como sugestão, resolva a expressão no sentido ocidental de leitura (da esquerda para a direita).

Para assimilar os conceitos, resolva os exercícios sobre ordem de operações aritméticas. Bons estudos.



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