Ordem de operações aritméticas (resumo nível médio)

Neste primeiro resumo de nível médio abordarei algumas regras da matemática que determinam quais das operações básicas devem ser calculadas primeiro: parênteses, multiplicação, divisão, adição ou subtração.

Mais e menos

Antes de começarmos, vale a pena ressaltar algo que provavelmente você já deve estar cansado de saber:

• números precedidos do símbolo de mais, $+$, ou de nenhum símbolo, são positivos e devem ser somados (exemplos: $ +2 $, $ 7 $, $+1{,}5$);
• números precedidos do símbolo de menos, $-$, são negativos e devem ser subtraídos (exemplos: $-3 $, $-9{,}8$, $-11$);
• as multiplicações podem ser representadas pelos símbolos $ \cdot \, $ e $ \times $;
• as divisões podem ser representadas pelos símbolos $ / \, $, $ : \, $ e $ \div \, $.

Parênteses

Prioridade deve ser dada aos parênteses, cujo par é representado por $( \, )$. Via de regra, você deve iniciar suas contas dentro do par de parênteses mais interno.

Exemplo 1

Como um primeiro exemplo, vamos encontrar o resultado da expressão $19 - (2 \times (8 + 1))$:

\begin{equation*} 19 - (2 \times (8 + 1)) \\ 19 - (2 \times (9)) \\ 19 - (2 \times 9) \\ 19 - (18) \\ 19 - 18 \\ 1 \, \textrm{.} \end{equation*}

Se houver dois ou mais pares de parênteses no mesmo nível, qualquer um poderá ser resolvido primeiro.

Exemplo 2

Vamos calcular $(4+1) \times (2+2)$:

\begin{equation*} (4+1) \times (2+2) \\ 5 \times (2+2) \\ 5 \times 4 \\ 20 \, \textrm{.} \end{equation*}

Note que a conta a seguir leva ao mesmo resultado:

\begin{equation*} (4+1) \times (2+2) \\ (4+1) \times 4 \\ 5 \times 4 \\ 20 \, \textrm{.} \end{equation*}

Os pares de parênteses mais externos podem ser trocados por colchetes, $[ \ ]$, ou chaves, $\{ \, \}$, a depender do gosto de quem está calculando.

Exemplo 3

Vamos calcular a expressão $3+\{19 - [2 \cdot (8 + 1)]\}$:

\begin{equation*} 3+\{19 - [2 \cdot (8 + 1)]\} \\ 3+\{19 - [2 \cdot 9]\} \\ 3+\{19 - 18\} \\ 3+1 \\ 4 \, \textrm{.} \end{equation*}

Note, através do Exemplo 3, que a prioridade é a mesma: sempre partir do par mais interno.

Multiplicação e divisão

Depois dos parênteses, devemos dar prioridade às operações de multiplicação e divisão. Podemos começar por qualquer uma das duas.

Exemplo 4

Neste exemplo, vamos calcular $2 \cdot {4/2} + 1$:

\begin{equation*} 2 \cdot {4/2} + 1 \\ 2 \cdot 2 + 1 \\ 4 + 1 \\ 5 \, \textrm{.} \end{equation*}

A conta abaixo leva ao mesmo resultado:

\begin{equation*} 2 \cdot {4/2} + 1 \\ 8/2 + 1 \\ 4 + 1 \\ 5 \, \textrm{.} \end{equation*}

Adição e subtração

Por fim, as últimas operações a serem realizadas são as de adição e subtração. Podemos começar por qualquer uma delas.

Exemplo 5

Observe, a seguir, uma maneira de encontrar o resultado de $4 \div 2 + 3 \times 2 - 1$.

\begin{equation*} 4 \div 2 + 3 \times 2 - 1 \\ 2 + 3 \times 2 - 1 \\ 2 + 6 - 1 \\ 7 \end{equation*}

Regra de sinais

Quando dois ou mais sinais estiverem competindo, podemos, dois a dois, transformá-los em um único sinal, seguindo as informações da Tabela 1.

Tabela 1. Regra de sinais.

Sinais	Resultado
$++$	$+$
$--$	$+$
$+-$	$-$
$-+$	$-$

$++$

$+$

$--$

$+$

$+-$

$-$

$-+$

$-$

Dois sinais iguais resultam em sinal positivo, $+$; dois sinais diferentes resultam em sinal negativo, $-$.

Exemplo 6

Abaixo, vou calcular $-3 \times (3-5) + 4 \times(-3)$ para mostrar como podemos trabalhar com os sinais.

\begin{equation*} -3 \times (3-5) + 4 \times(-3) \\ -3 \times (-2) + 4 \times(-3) \\ 6 + 4 \times(-3) \\ 6-12\\ -6 \end{equation*}

Problema resolvido

Vamos calcular a expressão $((3 + 4)$ $+ 10 \div 2 - 2 \times 1)$ $\times (3-1)$. Iniciarei calculando o par de parênteses mais interno:

$$ (7 + 10 \div 2 - 2 \times 1) \times (3-1) \, \textrm{.} $$

Podemos prosseguir para qualquer par de parênteses restante, partirei para o da direita:

$$ (7 + 10 \div 2 - 2 \times 1) \times 2 \, \textrm{.} $$

Agora, trabalharei dentro do par da esquerda. Darei prioridade às multiplicações e divisões:

$$ (7 + 5 - 2) \times 2 \, \textrm{.}$$

Ainda:

$$ 10 \times 2 \, \textrm{.} $$

E, por fim, a ultima operação:

$$ 20 \, \textrm{.} $$

Palavras finais

Pode ser que você se depare com alguma expressão mal escrita e isto fará com que fique em dúvida. Neste caso, a culpa não é sua, então sugiro que resolva a expressão no sentido ocidental de leitura (da esquerda para a direita).

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