Frações - Resumo Nível Médio

Dando sequência à série de conteúdos preliminares, que fora iniciado com o resumo Ordem de operações aritméticas, revisaremos agora as frações.

Uma fração é uma parte de um todo. Quando dividimos uma pizza em 8 pedaços, cada parte representa 1 pedaço de 8.

Figura 1. Exemplo de uma fração: uma parte em oito.

Simbolicamente, esse valor pode ser representado como $\frac{1}{8}$ ou $1/8$, onde o primeiro número é chamado de numerador e o de baixo de denominador.

\begin{equation} \frac{ \text{numerador} }{ \text{denominador} } \end{equation}

O resultado de uma fração é a divisão do numerador pelo denominador.

$$ \frac{1}{8} \ = \ 1/8 \ = \ 1 \div 8 \ = \ 0,125 $$

Veja que o denominador não pode ser nulo pois não queremos ter que encarar uma divisão por 0.

Qualquer número inteiro pode ser escrito em forma de fração se lembrarmos que todo número dividido por 1 resulta nele mesmo:

$$ 4 = 4 \div 1 = 4/1 = \frac{4}{1} $$

Após essa noção geral sobre frações, vamos voltar nossa atenção às suas operações básicas.

Frações negativas

Quando o numerador ou o denominador possuir sinal negativo, ele poderá ser colocado para fora da fração.

Exemplo 1
$$ \frac{-4}{21} = -\frac{4}{21} $$
Exemplo 2
$$ \frac{7}{-12} = -\frac{7}{12} $$
Exemplo 3
$$ \frac{-1}{-3} = -\frac{1}{-3} = -(-\frac{1}{3}) = \frac{1}{3} $$

Da mesma forma, o sinal que acompanha uma fração também poderá ser colocado para dentro.

Exemplo 4
$$ -\frac{2}{5} = \frac{-2}{5} = \frac{2}{-5} $$

Multiplicação de frações

Para multiplicar frações, multiplicamos entre si seus numeradores e seus denominadores. O resultado é uma nova fração.

Exemplo 5
$$ \frac{2}{3} \cdot \frac{12}{4} \ = \ \frac{2 \cdot 12}{3 \cdot 4} \ = \ \frac{24}{12} $$
Exemplo 6
$$ 5 \cdot \frac{4}{8} \ = \ \frac{5}{1} \cdot \frac{4}{8} \ = \ \frac{5 \cdot 4}{8} \ = \ \frac{20}{8} $$

Divisão de frações

Na divisão, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda.

Exemplo 7
$$ \frac{7}{5} \div \frac{9}{6} $$ $$ \frac{ \frac{7}{5} }{ \frac{9}{6} } \ = \ \frac{7}{5} \cdot \frac{6}{9} \ = \ \frac{7 \cdot 6}{5 \cdot 9} \ = \ \frac{42}{45} $$
Exemplo 8
$$ \frac{3}{4} \div 2 $$ $$ \frac{ \frac{3}{4} }{ 2 } \ = \ \frac{ \frac{3}{4} }{ \frac{2}{1} } \ = \ \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \ = \ \frac{3}{8} $$
Exemplo 9
$$ 7 \div \frac{2}{9} $$ $$ \frac{ 7 }{ \frac{2}{9} } \ = \ \frac{ \frac{7}{1} }{ \frac{2}{9} } \ = \ \frac{7}{1} \cdot \frac{9}{2} \ = \ \frac{63}{2} $$

Frações equivalentes

Ao multiplicarmos ou dividirmos ambos, numerador e denominador de uma fração, por um mesmo número, o resultado da fração não será alterado.

Exemplo 10

Neste exemplo, multiplicarei o numerador e o denominador por 5.

$$ \frac{3}{2} = \frac{3 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{15}{10} $$

E agora os dividirei por 5.

$$ \frac{15}{10} = \frac{15/5}{10/5} = \frac{3}{2} $$

Você pode conferir que o resultado é mesmo.

$$ \frac{3}{2} = \frac{15}{10} = 1,5 $$

Adição e subtração de frações


Denominadores iguais

Nos casos em que os denominadores são iguais, devemos mantê-los e prosseguir com a soma ou subtração dos numeradores.

Exemplo 11
$$ \frac{7}{5} + \frac{2}{5} = \frac{7+2}{5} = \frac{9}{5} $$
Exemplo 12
$$ \frac{4}{3} - \frac{9}{3} = \frac{4-9}{3} = \frac{-5}{3} = -\frac{5}{3} $$

Denominadores diferentes

Se os denominadores forem diferentes, precisamos deixá-los iguais. Para isso, podemos utilizar técnicas como a do mínimo múltiplo comum (MMC). Mas, como nosso foco não é a matemática em si, seremos mais práticos se utilizarmos frações equivalentes.

Exemplo 13

Neste exemplo, para somar $\frac{3}{5} + \frac{2}{10}$, multiplicarei o numerador e o denominador da primeira fração por 2.

\begin{align*} \frac{3}{5} + \frac{2}{10} &= \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2} + \frac{2}{10} \\ &= \frac{6}{10} + \frac{2}{10} \\ &= \frac{6+2}{10} \\ &= \frac{8}{10} \end{align*}
Exemplo 14

Aqui, para somar $\frac{1}{5} + \frac{2}{3}$ precisarei de um pouco mais de traquejo: multiplicarei o numerador e o denominador da primeira fração por 3 e os da segunda fração por 5.

\begin{align*} \frac{1}{5} + \frac{2}{3} &= \frac{1 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{2}{3} \\ &= \frac{3}{15} + \frac{2}{3} \\ &= \frac{3}{15} + \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} \\ &= \frac{3}{15} + \frac{10}{15} \\ &= \frac{3+10}{15} \\ &= \frac{13}{15} \end{align*}

Exercícios

Disponibilizei uma lista de exercícios específica sobre frações, você pode resolvê-la ou seguir direto para o resumo sobre potências.

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