Frações - Resumo Nível Médio

Dando sequência à série de conteúdos preliminares, que fora iniciado com o resumo Ordem de operações aritméticas, revisaremos agora as frações.

Uma fração é uma parte de um todo. Quando dividimos uma pizza em 8 pedaços, cada parte representa 1 pedaço de 8. Simbolicamente esse valor é representado como $\frac{1}{8}$ ou $1/8$, onde o número de cima é chamado de numerador e o de baixo de denominador.

$$ \frac{ \text{numerador} }{ \text{denominador} } $$

O resultado de uma fração é a divisão do numerador pelo denominador:

$$ \frac{1}{8} \ = \ 1/8 \ = \ 1 \div 8 \ = \ 0,125 $$

Veja que o denominador não pode ser nulo pois não queremos ter que encarar uma divisão por 0.

Qualquer número inteiro pode ser escrito em forma de fração se lembrarmos que todo número dividido por 1 resulta nele mesmo:

$$ 4 = 4 \div 1 = 4/1 = \frac{4}{1} $$

Isso nos dá uma noção geral sobre frações. Agora devemos voltar nossa atenção às operações básicas.

Frações negativas

Quando o numerador ou o denominador possuir sinal negativo, este sinal pode ser colocado para fora da fração.

Exemplo 1
$$ \frac{-4}{21} = -\frac{4}{21} $$
Exemplo 2
$$ \frac{7}{-12} = -\frac{7}{12} $$
Exemplo 3
$$ \frac{-1}{-3} = -\frac{1}{-3} = -(-\frac{1}{3}) = \frac{1}{3} $$

Da mesma forma, o sinal que acompanha uma fração também pode ser colocado para dentro.

Exemplo 4
$$ -\frac{2}{5} = \frac{-2}{5} = \frac{2}{-5} $$

Multiplicação de frações

Para multiplicar frações, multiplicamos seus numeradores e seus denominadores. O resultado é uma nova fração.

Exemplo 1
$$ \frac{2}{3} \cdot \frac{12}{4} \ = \ \frac{2 \cdot 12}{3 \cdot 4} \ = \ \frac{24}{12} $$
Exemplo 2
$$ 5 \cdot \frac{4}{8} \ = \ \frac{5}{1} \cdot \frac{4}{8} \ = \ \frac{5 \cdot 4}{8} \ = \ \frac{20}{8} $$

Divisão de frações

Na divisão devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda.

Exemplo 1
$$ \frac{7}{5} \div \frac{9}{6} $$ $$ \frac{ \frac{7}{5} }{ \frac{9}{6} } \ = \ \frac{7}{5} \cdot \frac{6}{9} \ = \ \frac{7 \cdot 6}{5 \cdot 9} \ = \ \frac{42}{45} $$
Exemplo 2
$$ \frac{3}{4} \div 2 $$ $$ \frac{ \frac{3}{4} }{ 2 } \ = \ \frac{ \frac{3}{4} }{ \frac{2}{1} } \ = \ \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \ = \ \frac{3}{8} $$
Exemplo 3
$$ 7 \div \frac{2}{9} $$ $$ \frac{ 7 }{ \frac{2}{9} } \ = \ \frac{ \frac{7}{1} }{ \frac{2}{9} } \ = \ \frac{7}{1} \cdot \frac{9}{2} \ = \ \frac{63}{2} $$

Frações equivalentes

Se multiplicarmos ou dividirmos ambos numerador e denominador de uma fração por um mesmo número, o resultado da fração não será alterado.

Exemplo 1

Neste exemplo, multiplicaremos o numerador e o denominador por 5.

$$ \frac{3}{2} = \frac{3 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{15}{10} $$

Agora os dividiremos por 5.

$$ \frac{15}{10} = \frac{15/5}{10/5} = \frac{3}{2} $$

Você pode conferir que o resultado é mesmo.

$$ \frac{3}{2} = \frac{15}{10} = 1,5 $$

Adição e subtração de frações


Denominadores iguais

Nos casos em que os denominadores são iguais, devemos mantê-los e prosseguir com a soma ou subtração do numerador.

Exemplo 1
$$ \frac{7}{5} + \frac{2}{5} = \frac{7+2}{5} = \frac{9}{5} $$
Exemplo 2
$$ \frac{4}{3} - \frac{9}{3} = \frac{4-9}{3} = \frac{-5}{3} = -\frac{5}{3} $$

Denominadores diferentes

Se os denominadores forem diferentes, precisamos deixá-los iguais. Para isso podemos utilizar técnicas como a do mínimo múltiplo comum (MMC). Mas, como nosso foco não é a matemática em si, seremos mais práticos se utilizarmos frações equivalentes.

Exemplo 1

Neste exemplo, para somarmos $\frac{3}{5} + \frac{2}{10}$, multiplicaremos o numerador e o denominador da primeira fração por 2.

\begin{align*} \frac{3}{5} + \frac{2}{10} &= \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2} + \frac{2}{10} \\ &= \frac{6}{10} + \frac{2}{10} \\ &= \frac{6+2}{10} \\ &= \frac{8}{10} \end{align*}
Exemplo 2

Aqui, para somarmos $\frac{1}{5} + \frac{2}{3}$ precisaremos de um pouco mais de traquejo: multiplicaremos o numerador e o denominador da primeira fração por 3 e os da segunda fração por 5.

\begin{align*} \frac{1}{5} + \frac{2}{3} &= \frac{1 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{2}{3} \\ &= \frac{3}{15} + \frac{2}{3} \\ &= \frac{3}{15} + \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} \\ &= \frac{3}{15} + \frac{10}{15} \\ &= \frac{3+10}{15} \\ &= \frac{13}{15} \end{align*}

Exercícios

Disponibilizamos uma lista de exercícios específica para este assunto, você pode resolvê-la ou seguir direto para o resumo sobre potências.

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