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Frações (resumo nível médio)

Uma fração é uma parte de um todo e, como mencionarei a seguir, pode sempre ser calculada através de uma simples divisão. Este resumo a nível médio é dedicado às frações e suas operações.

Definição

Quando dividimos uma pizza em oito pedaços, cada parte representa um pedaço de oito.

Figura 1. Exemplo de uma fração: uma parte em oito.

Esse valor pode ser representado como $\frac{1}{8}$ ou $1/8$, onde o primeiro número (o de cima) é chamado de numerador e o outro (o de baixo) de denominador.

\begin{equation} \frac{ \mathrm{numerador} }{ \mathrm{denominador} } \end{equation}

O resultado de uma fração é a divisão do numerador pelo denominador. No caso do exemplo da Figura 1:

\begin{align*} \begin{split} \frac{1}{8} &= 1/8 \\ &= 1 \div 8 \\ &= 0{,}125 \, \textrm{.} \end{split} \end{align*}

Veja que o denominador não pode ser nulo pois não queremos ter que encarar uma divisão por $0$. 🤷‍♂️

Qualquer número inteiro pode ser escrito em forma de fração se lembrarmos que todo número dividido por $1$ resulta nele mesmo.

Exemplo 1

Note, com este exemplo, que $4$ é o mesmo que $4/1$.

\begin{align*} 4 &= 4 \div 1 \\ &= 4/1 \\ &= \frac{4}{1} \end{align*}

Após essa definição superficial sobre frações, vamos voltar nossa atenção às operações básicas.

Frações inversas

Para inverter uma fração, troca-se o numerador pelo denominador. O resultado é chamado de inverso ou fração inversa.

Exemplo 2

A fração inversa de $\frac{4}{1}$ é $\frac{1}{4}$.

Exemplo 3

O inverso de $\frac{2}{5}$ é $\frac{5}{2}$.

Frações negativas

Quando o numerador ou o denominador possuir sinal negativo, ele pode ser colocado para fora da fração.

Exemplo 4

As frações abaixo possuem o mesmo resultado:

\begin{equation*} \frac{-4}{21} = -\frac{4}{21} \, \textrm{.} \end{equation*}
Exemplo 5

As frações abaixo possuem o mesmo resultado:

\begin{equation*} \frac{7}{-12} = -\frac{7}{12} \, \textrm{.} \end{equation*}
Exemplo 6

Todas as frações abaixo possuem o mesmo resultado:

\begin{align*} \begin{split} \frac{-1}{-3} &= -\frac{1}{-3} \\ &= -\Big(-\frac{1}{3}\Big) \\ &= \frac{1}{3} \, \textrm{.} \end{split} \end{align*}

Da mesma forma, o sinal que acompanha uma fração também pode ser colocado para dentro.

Exemplo 7

Todas as frações abaixo possuem o mesmo resultado:

\begin{align*} \begin{split} -\frac{2}{5} &= \frac{-2}{5} \\ &= \frac{2}{-5} \, \textrm{.} \end{split} \end{align*}

Multiplicação de frações

Para multiplicar frações, multiplicamos entre si seus numeradores e seus denominadores. O resultado é uma nova fração.

Exemplo 8

Vamos multiplicar a fração $2/3$ pela fração $12/4$:

\begin{align*} \begin{split} \frac{2}{3} \cdot \frac{12}{4} &= \frac{2 \cdot 12}{3 \cdot 4}\\ &= \frac{24}{12} \, \textrm{.} \end{split} \end{align*}
Exemplo 9

Vamos multiplicar o número $5$ pela fração $4/8$:

\begin{align*} \begin{split} 5 \cdot \frac{4}{8} &= \frac{5}{1} \cdot \frac{4}{8} \\ &= \frac{5 \cdot 4}{8} \\ &= \frac{20}{8} \, \textrm{.} \end{split} \end{align*}

Divisão de frações

Na divisão, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda.

Exemplo 10

Como exemplo, vamos dividir a fração $7/5$ pela fração $9/6$:

\begin{align*} \begin{split} \frac{7}{5} \div \frac{9}{6} &= \frac{ \ \frac{7}{5} \ }{ \ \frac{9}{6} \ } \\ &= \frac{7}{5} \cdot \frac{6}{9} \\ &= \frac{7 \cdot 6}{5 \cdot 9} \\ &= \frac{42}{45} \, \textrm{.} \end{split} \end{align*}
Exemplo 11

Vamos dividir a fração $3/4$ por $2$:

\begin{align*} \begin{split} \frac{3}{4} \div 2 &= \frac{3}{4} \div \frac{2}{1} \\ &= \frac{ \ \frac{3}{4} \ }{ \ \frac{2}{1} \ } \\ &= \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \\ &= \frac{3}{8} \, \textrm{.} \end{split} \end{align*}
Exemplo 12

Vamos dividir o número $7$ pela fração $2/9$:

\begin{align*} \begin{split} 7 \div \frac{2}{9} &= \frac{7}{1} \div \frac{2}{9} \\ &= \frac{ \ \frac{7}{1} \ }{ \ \frac{2}{9} \ } \\ &= \frac{7}{1} \cdot \frac{9}{2} \\ &= \frac{63}{2} \, \textrm{.} \end{split} \end{align*}

Frações equivalentes

Ao multiplicarmos ou dividirmos os numerador e denominador de uma fração por um mesmo número, o resultado da fração não é alterado.

Exemplo 13

Neste exemplo, multiplicarei o numerador e o denominador da fração $3/2$ por $5$:

\begin{equation*} \frac{3}{2} = \frac{3 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{15}{10} \, \textrm{.} \end{equation*}

E agora os dividirei por $5$:

\begin{equation*} \frac{15}{10} = \frac{15/5}{10/5} = \frac{3}{2} \, \textrm{.} \end{equation*}

Você pode conferir que o resultado é mesmo:

\begin{equation*} \frac{3}{2} = \frac{15}{10} = 1{,}5 \, \textrm{.} \end{equation*}

Adição e subtração de frações

Para realizarmos somas e subtrações entre frações, devemos estar atentos a dois casos distintos: frações de denominadores iguais e frações de denominadores diferentes.

Denominadores iguais

Ao somarmos ou subtrairmos frações de mesmo denominador, devemos mantê-lo e prosseguir com a soma ou subtração dos numeradores.

Exemplo 14

Como exemplo, vamos somar a fração $7/5$ com a fração $2/5$:

\begin{align*} \begin{split} \frac{7}{5} + \frac{2}{5} &= \frac{7+2}{5} \\ &= \frac{9}{5} \, \textrm{.} \end{split} \end{align*}
Exemplo 15

Vamos subtrair a fração $9/3$ da fração $4/3$:

\begin{align*} \begin{split} \frac{4}{3} - \frac{9}{3} &= \frac{4-9}{3} \\ &= \frac{-5}{3} \\ &= -\frac{5}{3} \, \textrm{.} \end{split} \end{align*}

Denominadores diferentes

Se os denominadores forem diferentes, precisamos torná-los iguais. Para isso, podemos utilizar técnicas como a do mínimo múltiplo comum (MMC). Mas, como meu foco não é a matemática em si, serei mais prático ao fazer uso de frações equivalentes.

Exemplo 16

Neste exemplo, para somar $\frac{3}{5}$ com $\frac{2}{10}$, multiplicarei o numerador e o denominador da primeira fração por $2$.

\begin{align*} \frac{3}{5} + \frac{2}{10} &= \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2} + \frac{2}{10} \\ &= \frac{6}{10} + \frac{2}{10} \\ &= \frac{6+2}{10} \\ &= \frac{8}{10} \end{align*}
Exemplo 17

Aqui, para operar $\frac{1}{5} - \frac{2}{3}$ precisarei de um pouco mais de traquejo: multiplicarei o numerador e o denominador da primeira fração por $3$ e os da segunda fração por $5$.

\begin{align*} \frac{1}{5} - \frac{2}{3} &= \frac{1 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{2}{3} \\ &= \frac{3}{15} - \frac{2}{3} \\ &= \frac{3}{15} - \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} \\ &= \frac{3}{15} - \frac{10}{15} \\ &= \frac{3-10}{15} \\ &= \frac{-7}{15}\\ &= -\frac{7}{15} \end{align*}

Palavras finais

Agora você já deve ser capaz de resolver problemas de física que envolvem frações. Para isso, lembre-se que é importante respeitar a ordem das operações aritméticas. Bons estudos.

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