Enem 2020 - Questão resolvida #04

(Enem 2020) Você foi contratado para sincronizar os quatro semáforos de uma avenida, indicados pelas letras O, A, B e C, conforme a figura.

Os semáforos estão separados por uma distância de 500 m. Segundo os dados estatísticos da companhia controladora de trânsito, um veículo, que está inicialmente parado no semáforo O, tipicamente parte com aceleração constante de 1 m s-2 até atingir a velocidade de 72 km h-1 e, a partir daí, prossegue com velocidade constante. Você deve ajustar os semáforos A, B e C de modo que eles mudem para a cor verde quando o veículo estiver a 100 m de cruzá-los, para que ele não tenha que reduzir a velocidade em nenhum momento.

Considerando essas condições, aproximadamente quanto tempo depois da abertura do semáforo O os semáforos A, B e C devem abrir, respectivamente?



A velocidade máxima que o carro pode atingir é $v = 72 \ \text{km/h}$, ou, convertendo em metros por segundo,

\begin{equation} \begin{split} v &= 72 \div 3,6 \ \text{m/s} \\ &= 20 \ \text{m/s} \text{.} \end{split} \end{equation}

Temos duas situações distintas neste problema. Até que o carro atinja a velocidade máxima $v$, devido à aceleração, temos um movimento uniformemente variado (MUV). Após atingir a velocidade máxima $v$, temos um movimento uniforme (MU), pois não há mais aceleração.

Para calcular a distância $\Delta S$ que o carro percorre até atingir a velocidade $v$, podemos utilizar a fórmula de Torricelli,

\begin{equation} v^2=v_0^2+2a\Delta S\text{,} \end{equation}

onde $v$ é a velocidade final, $v_0=0$ a velocidade inicial e $a$ a aceleração do veículo. Isolando $\Delta S$ e substituindo os valores,

\begin{equation} \begin{split} \Delta S &= \frac{v^2 - v_0^2}{2a} \\ &= \frac{20^2 - 0^2}{2 \cdot 1} \\ &= \frac{400}{2} \\ &= 200 \ \text{m} \text{.} \end{split} \end{equation}

Então, a partir de 200 m a aceleração será nula.

Figura 1. Ilustração dos tipos de movimento do carro com destaque aos intervalos de tempo durante cada percurso.
Fonte: Enem 2020 (adaptado).

Vamos dar nome aos bois. Chamarei de $t_1$ o tempo que o carro leva para atingir a velocidade máxima; a partir da velocidade máxima, $t_2$ vai ser o tempo que ele leva para chegar à 100 m de A; $t_3$ o tempo que ele leva para sair a 100 m antes de A e chegar a 100 m antes de B; e $t_4$ o tempo que ele leva para sair a 100 m antes de B e chegar a 100 m antes de C. Parece confuso, mas não é tanto. Na Figura 1 eu rotacionei e adaptei a imagem do enunciado, é uma boa ilustração do que está acontecendo.

Agora vamos por partes.

Vamos calcular $t_1$. No início, temos um problema de MUV, a expressão que rege este tipo de movimento é

\begin{equation} s=s_0+v_0t+\frac{at^2}{2} \text{,} \end{equation}

onde $s$ é a posição do veículo, $s_0$ é a posição inicial, $v_0$ a velocidade inicial, $a$ a aceleração e $t$ o instante de tempo. Substituindo $v_0=0$ e isolando o módulo de $t$,

\begin{equation} t = \sqrt{\frac{2(s-s_0)}{a}} \text{.} \end{equation}

É informado que o veículo partiu de O, $s_0=0$. Já sabemos que num tempo $t=t_1$ ele percorre $s=\Delta S = 200 \ \text{m}$ à uma aceleração $a=1 \ \text{m/s}$, então:

\begin{equation} \begin{split} t_1 &= \sqrt{\frac{2(s-s_0)}{a}} \\ &= \sqrt{\frac{2(200-0)}{1}} \\ &= \sqrt{2 \cdot 200} \\ &= \sqrt{400} \\ &= 20 \ \text{s} \text{.} \end{split} \end{equation}

A partir de $t_1$, não há mais aceleração, temos um MU. A expressão que rege este tipo de movimento é mais simples,

\begin{equation} s=s_0+vt \text{,} \end{equation}

isolando o tempo,

\begin{equation} t=\frac{s-s_0}{v} \text{.} \end{equation}

Agora vamos calcular $t_2$. Note, na Figura 2, que o carro parte de $s_0=200 \ \text{m}$ e chega a $s=400 \ \text{m}$ com a velocidade $v=20 \ \text{m/s}$. Então, da Equação (8),

\begin{equation} \begin{split} t_2 &= \frac{s-s_0}{v} \\ &=\frac{400 - 200}{20} \\ &= \frac{200}{20} \\ &= 10 \ \text{s} \text{.} \end{split} \end{equation}

Vamos fazer o mesmo para $t_3$, uma vez que o carro parte de $s_0=400 \ \text{m}$ e chega a $s=900 \ \text{m}$ com a velocidade $v=20 \ \text{m/s}$. Utilizando a Equação (8),

\begin{equation} \begin{split} t_3 &= \frac{s-s_0}{v} \\ &=\frac{900 - 400}{20} \\ &= \frac{500}{20} \\ &= 25 \ \text{s} \text{.} \end{split} \end{equation}

E, da mesma forma para $t_4$, o carro sai de $s_0=900 \ \text{m}$ e chega a $s=1400 \ \text{m}$ com a velocidade $v=20 \ \text{m/s}$,

\begin{equation} \begin{split} t_4 &= \frac{s-s_0}{v} \\ &=\frac{1400 - 900}{20} \\ &= \frac{500}{20} \\ &= 25 \ \text{s} \text{.} \end{split} \end{equation}

Para finalizar, o tempo $t_\text{A}$ para o sinal A abrir, que é o tempo que leva para o carro sair de O e chegar a 100 m de A, é

\begin{equation} \begin{split} t_\text{A} &= t_1 + t_2 \\ &= 20 + 10 \\ &= 30 \ \text{s} \text{.} \end{split} \end{equation}

Já o tempo $t_\text{B}$ para o sinal B abrir, que é o tempo que leva para o carro sair de O e chegar a 100 m de B, é

\begin{equation} \begin{split} t_\text{B} &= t_1 + t_2 + t_3 \\ &= 20 + 10 + 25 \\ &= 55 \ \text{s} \text{.} \end{split} \end{equation}

E também, o tempo $t_\text{C}$ para o sinal C abrir, que é o tempo que leva para o carro sair de O e chegar a 100 m de C, é

\begin{equation} \begin{split} t_\text{C} &= t_1 + t_2 + t_3 + t_4 \\ &= 20 + 10 + 25 + 25 \\ &= 80 \ \text{s} \text{.} \end{split} \end{equation}

Resposta: d.



2 comentários:

  1. muito obrigada, ótima explicação <3

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Olá! Fico contente que tenha gostado! :D
      Aproveite para conhecer a página no facebook: @deumfisico.

      Excluir