Fuvest 2017 - Questão 64 (Prova V - 1ª Fase)

(Fuvest 2017) Reatores nucleares não são exclusivamente criações humanas. No período pré-cambriano, funcionou na região de Oklo, África, durante centenas de milhares de anos, um reator nuclear natural, tendo como combustível um isótopo do urânio.
Para que tal reator nuclear natural pudesse funcionar, seria necessário que a razão entre a quantidade do isótopo físsil (235U) e a do urânio 238U fosse cerca de 3%. Esse é o enriquecimento utilizado na maioria dos reatores nucleares, refrigerados a água, desenvolvidos pelo homem.
O 235U decai mais rapidamente que o 238U; na Terra, atualmente, a fração do isótopo 235U, em relação ao 238U, é cerca de 0,7%. Com base nessas informações e nos dados fornecidos, pode-se estimar que o reator natural tenha estado em operação há

Note e adote:
M(t) = M(0)10-λt; M(t) é a massa de um isótopo radioativo no instante t.
λ descreve a probabilidade de desintegração por unidade de tempo.
Para o 238U, λ238 ≈ 0,8 × 10-10 ano-1.
Para o 235U, λ235 ≈ 4,0 × 10-10 ano-1.
log10(0,23) ≈ -0,64.


Segundo o enunciado, inicialmente (t = 0), para o reator funcionar, é necessário que a razão entre a massa do isótopo e a do urânio seja de 3%: $$ \begin{equation} \label{FUVEST2017Q64PV1F_t0} \frac{M_{\textrm{235}}(0)}{M_{\textrm{238}}(0)} = 0,03 \end{equation} $$

E, atualmente, essa razão é de 0,7%: $$ \begin{equation} \label{FUVEST2017Q64PV1F_ta} \frac{M_{\textrm{235}}(t_{\textrm{a}})}{M_{\textrm{238}}(t_{\textrm{a}})} = 0,007 \end{equation} $$

Agora vamos utilizar a equação fornecida pelo enunciado para os dois elementos: $$ M_{\textrm{235}}(t_{\textrm{a}}) = M_{\textrm{235}}(0) \cdot 10^{4 \cdot 10^{-10} t} $$ $$ M_{\textrm{238}}(t_{\textrm{a}}) = M_{\textrm{238}}(0) \cdot 10^{0,8 \cdot 10^{-10} t} $$

Dividindo as duas expressões acima: $$ \frac{M_{\textrm{235}}(t_{\textrm{a}})}{M_{\textrm{238}}(t_{\textrm{a}})} = \frac{M_{\textrm{235}}(0)}{ M_{\textrm{238}}(0)} \frac{10^{-4 \cdot 10^{-10} t}}{10^{-0,8 \cdot 10^{-10} t}} $$ Vamos substituir os valores das razões (\ref{FUVEST2017Q64PV1F_t0}) e (\ref{FUVEST2017Q64PV1F_ta}), efetuar a divisão das potências de base 10 e rearranjar a igualdade: $$ 0,007 = 0,03 \cdot 10^{-(4 - 0,8) \cdot 10^{-10} t } $$ $$ \frac{0,007}{0,03} = 10^{-(3,2) \cdot 10^{-10} t } $$ $$ 0,233 = 10^{-3,2 \cdot 10^{-10} t } $$ Por fim, isolaremos a variável t aplicando o logaritmo em ambos os lados da equação: $$ \textrm{log}_{10} (0,233) = \textrm{log}_{10} (10^{-3,2 \cdot 10^{-10} t }) $$ $$ -0,64 = -3,2 \cdot 10^{-10} t $$ $$ t = \frac{0,64}{3,2} \cdot 10^{10} = 2 \cdot 10^{9} \textrm{ anos} $$

Resposta: c

Postar um comentário