Potências - Resumo Nível Médio

A representação de números através de potências (ou expoentes) é frequentemente utilizada na Física. Elevar um número $x$ a uma potência inteira $n$ é multiplicá-lo por ele mesmo $n$ vezes. Matematicamente isto é representado por $x^n$.

Exemplo 1
\begin{align*} 2^4 &= 2 \times 2 \times 2 \times 2 \\ &= 16 \end{align*}
Exemplo 2
\begin{equation*} 3^1 = 3 \end{equation*}
Exemplo 3
\begin{align*} 10^3 &= 10 \times 10 \times 10 \\ &= 1000 \end{align*}
Exemplo 4
\begin{align*} (-1)^3 &= (-1) \times (-1) \times (-1) \\ &= -1 \end{align*}
Exemplo 5
\begin{align*} (-2)^2 &= (-2) \times (-2) \\ &= 4 \end{align*}

Agora observe o exemplo abaixo.

Exemplo 6
\begin{align*} -2^2 &= - (2 \times 2) \\ &= -4 \end{align*}

Ao compararmos o Exemplo 5 com o Exemplo 6, concluímos que há um detalhe importante: $-2^2$ é diferente de $(-2)^2$ pois em $-2^2$ o sinal negativo não está elevado à potência.

Nomenclatura

O número multiplicado é chamado de base, já o valor ao qual a base está elevada é chamado de expoente.

\begin{equation} { \underset{\text{base}}{x} }^{ \overset{\text{expoente}}{n} } = \underbrace{x \cdot x \cdot \ldots \cdot x}_{n \ \text{ vezes}} \end{equation}

Se o expoente for 2, dizemos que o número da base está elevado à segunda potência (ou ao quadrado); se o expoente for 3, o número da base está elevado à terceira potência (ou ao cubo); se o expoente for 4, o número da base está elevado à quarta potência; e assim por diante.

Expoente nulo

Por definição, se o expoente for 0 o resultado é sempre 1.

Exemplo 7
\begin{equation*} 3^0 = 1 \end{equation*}
Exemplo 8
\begin{equation*} 21^0 = 1 \end{equation*}

Expoente negativo

Se o expoente for negativo, podemos torná-lo positivo ao invertermos o valor da base.

Exemplo 9
\begin{equation*} \begin{split} 8^{-1} &= \frac{1}{8^1} \\ &= \frac{1}{8} \end{split} \end{equation*}
Exemplo 10
\begin{equation*} \begin{split} 2^{-4} &= \frac{1}{2^4} \\ &= \frac{1}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 } \\ &= \frac{1}{16} \end{split} \end{equation*}
Exemplo 11
\begin{equation*} \begin{split} \frac{1}{10^{-3}} &= 10^3 \\ &= 10 \cdot 10 \cdot 10 \\ &= 1000 \end{split} \end{equation*}

Expoente fracionário (raiz)

Números que têm fração como expoente podem ser irracionais e, portanto, mais difíceis de serem calculados.

Exemplo 12
\begin{equation*} 2^\frac{1}{2} = 1,414... \end{equation*}

Outra forma de representá-los é através do símbolo $\sqrt{ \ \textrm{ } \ }$, chamado de radical. Assim, um número $x$ com expoente fracionário igual a $n/d$ pode ser escrito como:

\begin{equation} x^\frac{\textrm{n}}{\textrm{d}} = \sqrt[ d ]{x^n \, } \text{,} \end{equation}

e a potência $n$ pode ser retirada de dentro do radical sempre que for desejável,

\begin{equation} \sqrt[ d ]{x^n \, } = \sqrt[ d ]{x \, }^{ \, n} = (\sqrt[ d ]{x \, })^n \text{.} \end{equation}

Ainda, podemos ocultar $d$ quando ele for igual a 2, essa operação é conhecida como raiz quadrada:

\begin{equation} \sqrt[ 2 ]{x^n \, } = \sqrt{x^n \, } \text{.} \end{equation}
Exemplo 13
\begin{align*} 3^\frac{1}{2} &= \sqrt[2]{3^1} \\ &= \sqrt{3} \end{align*}
Exemplo 14
\begin{align*} 7^\frac{5}{2} &= \sqrt[2]{7^5} \\ &= \sqrt{7^5} \end{align*}
Exemplo 15
\begin{align*} 2^\frac{1}{3} &= \sqrt[3]{2^1} \\ &=\sqrt[3]{2} \end{align*}
Exemplo 16
\begin{equation*} 5^\frac{3}{4} = \sqrt[4]{5^3} \end{equation*}

Potência de potência

Quando um número com expoente está elevado a um outro expoente, podemos multiplicar os expoentes.

Exemplo 17
\begin{align*} (5^3)^2 &= 5^{3 \cdot 2} \\ &= 5^6 \end{align*}
Exemplo 18
\begin{align*} (2^7)^{-3} &= 2^{7 \cdot (-3)} \\ &= 2^{-21} \end{align*}
Exemplo 19
\begin{align*} (8^4)^\frac{1}{5} &= 8^{4 \cdot \frac{1}{5}} \\ &= 8^{\frac{4}{5}} \\ &= \sqrt[5]{8^4} \end{align*}

Multiplicação e divisão de potências

Na multiplicação ou divisão entre potências, sempre que os expoentes forem iguais podemos operar as bases e elevar o resultado a um único expoente.

Exemplo 20
\begin{align*} 4^2 \cdot 5^2 &= (4 \cdot 5)^2 \\ &= 20^2 \\ &= 400 \end{align*}
Exemplo 21
\begin{align*} 40^3 &= (4 \cdot 10)^3 \\ &= 4^3 \cdot 10^3 \end{align*}

Se as bases forem iguais, podemos manter a base e somar ou subtrair seus expoentes.

Exemplo 22
\begin{align*} 3^2 \cdot 3^4 &= 3^{2+4} \\ &= 3^6 \end{align*}
Exemplo 23
\begin{align*} 8^{-3} \cdot 8^2 &= 8^{-3+2} \\ &= 8^{-1} \end{align*}
Exemplo 24
\begin{align*} \frac{6^5}{6^2} &= 6^5 \cdot 6^{-2} \\ &= 6^{5-2} \\ &= 6^3 \end{align*}
Exemplo 25
\begin{align*} \frac{10^3}{10^{-6}} &= 10^3 \cdot 10^6 \\ &= 10^{3+6} \\ &= 10^9 \end{align*}

Já se as bases e os expoentes forem diferentes, não há muito o que fazer a não ser rezar calcular os valores de cada potência para então prosseguir com a operação.



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