Potências - Resumo Nível Médio

A representação de números através de potências é frequentemente utilizada na física. Elevar um número $x$ a um inteiro $n$ é multiplicá-lo por ele mesmo $n$ vezes.

Exemplo 1
\begin{equation*} 2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16 \end{equation*}
Exemplo 2
\begin{equation*} 3^1 = 3 \end{equation*}
Exemplo 3
\begin{equation*} 10^3 = 10 \times 10 \times 10 = 1000 \end{equation*}
Exemplo 4
\begin{equation*} (-2)^2 = (-2) \times (-2) = 4 \end{equation*}

O número multiplicado é chamado de base, já o valor ao qual a base está elevada é chamado de expoente.

\begin{equation} { \underset{\textrm{base}}{x} }^{ \overset{\textrm{expoente}}{n} } = \underbrace{x \cdot x \cdot x \cdot \ldots \cdot x}_{n\textrm{ vezes}} \end{equation}

Expoente nulo

Por definição, se o expoente for 0 o resultado será sempre 1.

Exemplo 5
\begin{equation*} 3^0 = 1 \end{equation*}
Exemplo 6
\begin{equation*} 21^0 = 1 \end{equation*}

Expoente negativo

Se o expoente for negativo, podemos torná-lo positivo ao invertermos o valor da base.

Exemplo 7
\begin{equation*} \begin{split} 8^{-1} &= \frac{1}{8^1} \\ &= \frac{1}{8} \end{split} \end{equation*}
Exemplo 8
\begin{equation*} \begin{split} 2^{-4} &= \frac{1}{2^4} \\ &= \frac{1}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 } \\ &= \frac{1}{16} \end{split} \end{equation*}
Exemplo 9
\begin{equation*} \begin{split} \frac{1}{10^{-3}} &= 10^3 \\ &= 10 \cdot 10 \cdot 10 \\ &= 1000 \end{split} \end{equation*}

Expoente fracionário (raiz)

Números que têm uma fração como expoente podem ser irracionais e, portanto, mais difíceis de serem calculados.

Exemplo 10
\begin{equation*} 2^\frac{1}{2} \approx 1,41 \end{equation*}

Outra forma de representá-los é através do símbolo $\sqrt{ \ \textrm{ } \ }$, chamado de radical. Assim, um número $N$ com expoente fracionário igual a $n/d$ pode ser escrito como:

\begin{equation} N^\frac{\textrm{n}}{\textrm{d}} = \sqrt[ d ]{N^n} \text{,} \end{equation}

e a potência $n$ pode ser retirada de dentro do radical sempre que necessário.

\begin{equation} \sqrt[ d ]{N^n} = \sqrt[ d ]{N}^n = (\sqrt[ d ]{N})^n \end{equation}

Ainda, podemos ocultar $d$ quando ele for igual a 2. Essa operação é conhecida como raiz quadrada.

\begin{equation} \sqrt[ 2 ]{N^n} = \sqrt{N^n} \end{equation}
Exemplo 11
\begin{equation*} 3^\frac{1}{2} = \sqrt[2]{3^1} = \sqrt{3} \end{equation*}
Exemplo 12
\begin{equation*} 7^\frac{5}{2} = \sqrt[2]{7^5} = \sqrt{7^5} \end{equation*}
Exemplo 13
\begin{equation*} 2^\frac{1}{3} = \sqrt[3]{2^1} =\sqrt[3]{2} \end{equation*}
Exemplo 14
\begin{equation*} 5^\frac{3}{4} = \sqrt[4]{5^3} \end{equation*}

Potência de potência

Quando uma potência está elevada a um expoente, multiplicamos os expoentes.

Exemplo 15
\begin{equation*} (5^3)^2 = 5^{3 \cdot 2} = 5^6 \end{equation*}
Exemplo 16
\begin{equation*} (2^7)^{-3} = 2^{7 \cdot (-3)} = 2^{-21} \end{equation*}
Exemplo 17
\begin{equation*} (8^4)^\frac{2}{5} = 8^{4 \cdot \frac{2}{5}} = 8^{\frac{8}{5}} \end{equation*}

Multiplicação e divisão de potências

Na multiplicação ou divisão entre potências, sempre que os expoentes forem iguais podemos operar as bases e elevar o resultado a um único expoente.

Exemplo 18
\begin{equation*} \begin{split} 4^2 \cdot 5^2 &= (4 \cdot 5)^2 \\ &= 20^2 \\ &= 400 \end{split} \end{equation*}
Exemplo 19
\begin{equation*} 40^3 = (4 \cdot 10)^3 = 4^3 \cdot 10^3 \end{equation*}

E se as bases forem iguais, podemos somar ou subtrair seus expoentes.

Exemplo 20
\begin{equation*} 3^2 \cdot 3^4 = 3^{2+4} = 3^6 \end{equation*}
Exemplo 21
\begin{equation*} 8^{-3} \cdot 8^2 = 8^{-3+2} = 8^{-1} \end{equation*}
Exemplo 22
\begin{equation*} \frac{6^5}{6^2} = 6^{5-2} = 6^3 \end{equation*}
Exemplo 23
\begin{equation*} \frac{10^3}{10^{-6}} = 10^{3+6} = 10^9 \end{equation*}

Já se as bases e os expoentes forem diferentes, não há muito o que fazer a não ser rezar calcular os valores de cada potência para então prosseguir com a operação.



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