Potências - Resumo Nível Médio

A representação de números através de potências é frequentemente utilizada na física e por isso, depois de frações, este é um resumo que não poderia faltar na série de conteúdos preliminares.

Elevar um número x a um inteiro n é multiplicá-lo por ele mesmo n vezes. Observe:

$$ 2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32 $$ $$ 3^1 = 3 $$ $$ 10^3 = 10 \times 10 \times 10 = 1000 $$

O número multiplicado é chamado de base, já o valor ao qual a base está elevada é chamado de expoente.

$$ { \underset{\textrm{base}}{x} }^{ \overset{\textrm{expoente}}{n} } = \underbrace{x \cdot x \cdot x \cdot \ldots \cdot x}_{n\textrm{ vezes}} $$

Expoente nulo

Por definição, se o expoente for 0 o resultado será sempre 1.

Exemplo 1
$$ 3^0 = 1 $$
Exemplo 2
$$ 21^0 = 1 $$

Expoente negativo

Se o expoente for negativo, podemos torná-lo positivo invertendo a base.

Exemplo 1
$$ 8^{-1} = \frac{1}{8^1} = \frac{1}{8} $$
Exemplo 2
$$ 2^{-4} = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 } = \frac{1}{16} $$
Exemplo 3
$$ \frac{1}{10^{-3}} = 10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000 $$

Expoente fracionário (raiz)

Números que têm frações como expoente são irracionais e mais difíceis de serem calculados.

Exemplo 1
$$ 2^\frac{1}{2} \approx 1,41 $$

Outra forma de representá-los é através do símbolo $\sqrt{ \ }$, chamado de raiz.

Exemplo 2
$$ 3^\frac{1}{2} = \sqrt[2]{3^1} = \sqrt{3} $$
Exemplo 3
$$ 7^\frac{5}{2} = \sqrt[2]{7^5} = \sqrt{7^5} $$
Exemplo 4
$$ 2^\frac{1}{3} = \sqrt[3]{2^1} =\sqrt[3]{2} $$
Exemplo 5
$$ 5^\frac{3}{4} = \sqrt[4]{5^3} $$

Potência de potência

Quando uma potência está elevada a um expoente, multiplicamos os expoentes.

Exemplo 1
$$ (5^3)^2 = 5^{3 \cdot 2} = 5^6 $$
Exemplo 2
$$ (2^7)^{-3} = 2^{7 \cdot (-3)} = 2^{-21} $$
Exemplo 3
$$ (8^4)^\frac{2}{5} = 8^{4 \cdot \frac{2}{5}} = 8^{\frac{8}{5}} $$

Multiplicação e divisão de potências

Na multiplicação ou divisão entre potências, sempre que a base for a mesma podemos somar ou subtrair os expoentes.

Exemplo 1
$$ 3^2 \cdot 3^4 = 3^{2+4} = 3^6 $$
Exemplo 2
$$ 8^{-3} \cdot 8^2 = 8^{-3+2} = 8^{-1} $$
Exemplo 3
$$ \frac{6^5}{6^2} = 6^{5-2} = 6^3 $$
Exemplo 4
$$ \frac{10^3}{10^{-6}} = 10^{3+6} = 10^9 $$

Se as bases forem diferentes, não há muito o que se fazer a não ser rezar calcular os valores.

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