ENEM 2019 - Questão resolvida #08

(ENEM 2019) O espectrômetro de massa de tempo de voo é um dispositivo utilizado para medir a massa de íons. Nele, um íon de carga elétrica $q$ é lançado em uma região de campo magnético constante $\vec{B}$, descrevendo uma trajetória helicoidal, conforme a figura. Essa trajetória é formada pela composição de um movimento circular uniforme no plano $yz$ e uma translação ao longo do eixo $x$. A vantagem desse dispositivo é que a velocidade angular do movimento helicoidal do íon é independente de sua velocidade inicial. O dispositivo então mede o tempo $t$ de voo para $N$ voltas do íon. Logo, com base nos valores $q$, $B$, $N$ e $t$, pode-se determinar a massa do íon.

A massa do íon medida por esse dispositivo será

a) $\frac{qBt}{2\pi N}$ b) $\frac{qBt}{\pi N}$ c) $\frac{2qBt}{\pi N}$ d) $\frac{qBt}{N}$ e) $\frac{2qBt}{N}$

Para uma partícula que atravessa perpendicularmente um campo magnético, temos uma igualdade entre os módulos da força centrípeta $\vec{F}_\text{cp}$ e da força magnética $\vec{F}_\text{B}$, isto é,

\begin{equation} \abs{\vec{F}_\text{cp}} = \abs{\vec{F}_\text{B}} \pt \end{equation}

Sejam $R$ o raio da circunferência percorrida pela partícula, $\abs{\vec{v}}=v$ o módulo da sua velocidade, tangencial à trajetória, e $\abs{\vec{B}}=B$ o módulo do campo magnético, podemos escrever:

\begin{equation} \frac{mv^2}{R} = q v B \pt \end{equation}

Assim, isolando-se a massa,

\begin{equation} m = \frac{ qBR }{v} \pt \end{equation}

Ainda, $v$ pode ser determinado uma vez que, no intervalo de tempo $\Delta t = t$, a partícula percorre $N$ vezes o perímetro do círculo de raio $R$, ou seja, o espaço percorrido é $\Delta S = N 2 \pi R$. Então, de acordo com o movimento circular,

\begin{equation} \begin{split} v &= \frac{\Delta S}{\Delta t} \\ &= \frac{N 2 \pi R}{t} \pt \end{split} \end{equation}

Por fim, substituindo o resultado obtido com a Equação (4), na Equação (3),

\begin{equation} \begin{split} m &= \frac{ qBR }{v} \\ &= \frac{qBRt}{N 2 \pi R } \\ &= \frac{qBt}{N 2 \pi} \pt \end{split} \end{equation}

Resposta: a.

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