Enem 2019 - Questão resolvida #08

(Enem 2019) O espectrômetro de massa de tempo de voo é um dispositivo utilizado para medir a massa de íons. Nele, um íon de carga elétrica $q$ é lançado em uma região de campo magnético constante $\vec{B}$, descrevendo uma trajetória helicoidal, conforme a figura. Essa trajetória é formada pela composição de um movimento circular uniforme no plano $yz$ e uma translação ao longo do eixo $x$. A vantagem desse dispositivo é que a velocidade angular do movimento helicoidal do íon é independente de sua velocidade inicial. O dispositivo então mede o tempo $t$ de voo para $N$ voltas do íon. Logo, com base nos valores $q$, $B$, $N$ e $t$, pode-se determinar a massa do íon.

A massa do íon medida por esse dispositivo será

a) $\frac{qBt}{2\pi N}$ b) $\frac{qBt}{\pi N}$ c) $\frac{2qBt}{\pi N}$ d) $\frac{qBt}{N}$ e) $\frac{2qBt}{N}$

Para uma partícula atravessando perpendicularmente um campo magnético, temos uma igualdade entre a força centrípeta $F_\text{cp}$ e a força magnética $F_\text{B}$.

\begin{equation} F_\text{cp} = F_\text{B} \end{equation}

Sejam $R$ o raio da circunferência percorrida pela partícula e $v$ sua velocidade tangencial,

\begin{equation} \frac{mv^2}{R} = q v B \text{,} \end{equation}

ou ainda, isolando a masssa,

\begin{equation} m = \frac{ qBR }{v} \text{.} \end{equation}

A velocidade pode ser determinada uma vez que, no intervalo de tempo $t$, a partícula se desloca $N$ vezes o perímetro do círculo de raio $R$, ou seja, $N$ vezes a distância $2 \pi R$.

\begin{equation} \begin{split} v &= \frac{\Delta s}{\Delta t} \\ &= \frac{N 2 \pi R}{t} \end{split} \end{equation}

Por fim, substituindo o resultado (4) em (3),

\begin{equation} \begin{split} m &= \frac{ qBR }{v} \\ &= \frac{qBRt}{N 2 \pi R } \\ &= \frac{qBt}{N 2 \pi} \text{.} \end{split} \end{equation}

Resposta: a.

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