Enem 2019 - Questão resolvida #12

(Enem 2019) Uma casa tem um cabo elétrico mal dimensionado, de resistência igual a 10 Ω, que a conecta à rede elétrica de 120 V. Nessa casa, cinco lâmpadas, de resistência igual a 200 Ω, estão conectadas ao mesmo circuito que uma televisão de resistência igual a 50 Ω, conforme ilustrado no esquema. A televisão funciona apenas com tensão entre 90 V e 130 V.

O número máximo de lâmpadas que podem ser ligadas sem que a televisão pare de funcionar é:

a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5.

A corrente $i_\text{c}$ que atravessa o cabo é distribuída para cada componente, ou seja, para as correntes $i_\text{l}$ que atravessam as lâmpadas e para uma corrente $i_\text{tv}$ que chega à TV.

Figura 1. Circuito do enunciado com destaque às correntes, resistências e tensões.
Fonte: Enem 2019 (adaptado).

Então, da primeira lei de Kirchhoff (lei dos nós):

\begin{equation} \begin{split} i_\text{c} &= i_\text{tv} + i_\text{l} + i_\text{l} + i_\text{l} + \cdots \\ &= i_\text{tv} + n \, i_\text{l} \end{split} \end{equation}

Em (1) utilizei o número $n$ para representar a quantidade de lâmpadas acesas no circuito, uma vez que não sabemos se as 5 lâmpadas poderão ficar acesas.

Precisamos descobrir quanto vale $n$. Do resultado (1),

\begin{equation} \begin{split} i_\text{tv} + n \, i_\text{l} = i_\text{c} \\ n \, i_\text{l} = i_\text{c} - i_\text{tv} \\ n = \frac{i_\text{c} - i_\text{tv}}{i_\text{l}} \text{.} \end{split} \end{equation}

Agora note, através da Figura 1, que a tensão $U_\text{AB}$ entre qualquer dois pontos A e B, ou seja, a tensão $U_\text{l}$ em qualquer lâmpada, é igual à tensão $U_\text{tv}$, pois estão em paralelo,

\begin{equation} U_\text{AB} = U_\text{l} = U_\text{tv} \text{;} \end{equation}

e a tensão $U_\text{CA}$ entre os pontos C e A é igual à tensão $U_\text{c}$ no cabo,

\begin{equation} U_\text{CA} = U_\text{c} \text{.} \end{equation}

Para garantir que a TV funcione, sua tensão tensão não deve ser menor que $90 \ \text{V}$. Então, considerando a menor tensão possível para o funcionamento da TV, $U_\text{tv}=90 \ \text{V}$, a segunda lei de Kirchhoff nos fornece a tensão elétrica $U_\text{c}$ no cabo:

\begin{equation} \begin{split} 120 &= U_\text{CA} + U_\text{AB} \\ &= U_\text{c} + U_\text{tv} \\ &= U_\text{c} + 90 \text{,} \end{split} \end{equation}

ou seja,

\begin{equation} \begin{split} U_\text{c} &= 120 - 90 \\ &= 30 \ \text{V} \text{.} \end{split} \end{equation}

Com isso, através da lei de Ohm, a corrente $i_\text{c}$, no cabo de resistência $R_\text{c}=10 \ \Omega$, pode ser calculada:

\begin{equation} U_\text{c} = R_\text{c} \, i_\text{c} \text{,} \end{equation}

ou melhor,

\begin{equation} \begin{split} i_\text{c} &= \frac{U_\text{c}}{R_\text{c}} \\ &= \frac{30}{10} \\ &= 3 \ \text{A} \text{.} \end{split} \end{equation}

Da mesma forma, aplicando a lei de Ohm na TV de resistência $R_\text{tv} = 50 \ \Omega$, podemos calcular a corrente $i_\text{tv}$:

\begin{equation} \begin{split} i_\text{tv} &= \frac{U_\text{tv}}{R_\text{tv}} \\ &= \frac{90}{50} \\ &= 1,8 \ \text{A} \text{.} \end{split} \end{equation}

E utilizando a lei de Ohm mais uma vez, a corrente $i_\text{l}$, que passa por cada lâmpada de resistência $R_\text{l}=200 \ \Omega$, pode ser calculada:

\begin{equation} \begin{split} i_\text{l} &= \frac{U_\text{l}}{R_\text{l}} \\ &= \frac{90}{200} \\ &= 0,45 \ \text{A} \text{.} \end{split} \end{equation}

Ufa! Finalmente, substituindo os resultados (8), (9) e (10) na expressão (2):

\begin{equation} \begin{split} n &= \frac{i_\text{c} - i_\text{tv}}{i_\text{l}} \\ &= \frac{3 - 1,8}{0,3} \\ &= 2,66 \dots \, \text{.} \end{split} \end{equation}

Ou seja, já que as lâmpadas só acendem se estiverem inteiras; para garantir que a TV funcione, não podemos acender mais que 2 lâmpadas.

Resposta: b.

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