Inequações simples (resumo nível médio)

Uma inequação é uma expressão matemática dotada de um sinal de desigualdade. Nesta postagem de nível médio, revisaremos o cálculo de inequações simples e a interpretação do resultado com base no sinal de desigualdade.

Símbolos

Diferente do sinal de igualdade, que só existe um, há diversos sinais de desigualdade, como você pode ver na Tabela 1, cada um com seu significado.

Tabela 1. Sinais de desigualdade.
Sinal Significado
$\ne$
é diferente de
$\gt$
é maior que
$\lt$
é menor que
$\ge$
é maior ou igual que
$\le$
é menor ou igual que

Analogamente ao que podemos fazer nas equações, nas inequações podemos isolar a incógnita de um lado, calcular o valor do outro lado e analisar o resultado.

Interpretando inequações

Ao se resolver uma inequação, o valor encontrado deve ser interpretado de acordo com o significado do sinal de desigualdade.

Exemplo 1

Como exemplo, acompanhe-me na resolução da inequação $-3+x \gt -5$:

\begin{equation*} -3+x \gt -5 \\ x \gt -5+3 \\ x \gt -2 \, \textrm{.} \end{equation*}

Com isso, a interpretação é que $x$ é maior que $-2$, isto é, $x$ pode ser qualquer número maior que $-2$ como, por exemplo, $-1$, $0$, $1$, $2$, $3$, e etc.

Exemplo 2

Neste exemplo, vamos resolver a inequação $x-8 \ne 4$:

\begin{equation*} x-8 \ne 4 \\ x \ne 4 + 8 \\ x \ne 12 \, \textrm{.} \end{equation*}

Com isso, interpretamos que $x$ é diferente de $12$, isto é, $x$ pode ser qualquer número exceto o $12$.

Exemplo 3

Aqui, vamos resolver a inequação $6x-5 \le 1$:

\begin{equation*} 6x-5 \le 1 \\ 6x \le 1 + 5 \\ 6x \le 6 \\ x \le \frac{6}{6} \\ x \le 1 \, \textrm{.} \end{equation*}

Com isso, interpretamos que $x$ é menor ou igual que $1$, isto é, $x$ pode ser qualquer número menor ou igual que $1$ como, por exemplo, $1$, $0$, $-1$, $-2$, e etc.

Operando inequações

Quase todas as regras de operação para equações se aplicam às inequações. A exceção se dá quando multiplicamos ou dividimos a expressão inteira por um número negativo; nesse caso, o sinal de desigualdade deve ser invertido (espelhado).

Exemplo 4

Como exemplo, vamos calcular $-2x-1 \le 3$:

\begin{equation*} -2x-1 \le 3 \\ -2x \le 3+1 \\ -2x \le 4 \\ -x \le \frac{4}{2} \\ -x \le 2 \\ (-1) \cdot (-x) \ge (2) \cdot (-1) \\ x \ge -2 \, \textrm{.} \end{equation*}

Assim, interpretamos que $x$ é maior ou igual que $-2$. O sinal $\le$ foi invertido para $\ge$ devido a multiplicação por $-1$.

Exemplo 5

Aqui, vou encontrar os possíveis valores de $x$ na inequação $3 \gt 3 + x$. Observe:

\begin{equation*} 3 \gt 3 + x \\ -x \gt 3-3 \\ -x \gt 0 \\ (-1) \cdot (-x) \lt 0 \cdot (-1) \\ x \lt 0 \end{equation*}

Com isso, a interpretação é que $x$ é menor que $0$. O sinal $\gt$ foi invertido para $\lt$ devido a multiplicação pelo número negativo $-1$.

Exemplo 6

Neste exemplo, vou encontrar o valor que a incógnita $x$ não pode assumir em $ x \ne 8 + 5x$:

\begin{equation*} x \ne 8 + 5x \\ x - 5x \ne 8 \\ -4x \ne 8 \\ -x \ne \frac{8}{4} \\ -x \ne 2 \\ (-1) \cdot (-x) \ne 2 \cdot (-1) \\ x \ne -2 \end{equation*}

Com isso, a conclusão é que $x$ é diferente de $-2$. Dentre os sinais de desigualdade, $\ne$ é o único que não possui inversão.

Espelhando inequações

Asim como multiplicar ou dividir por números negativos, podemos espelhar completamente uma inequação desde que o sinal de desigualdade também seja espelhado.

Exemplo 7

Neste exemplo, vamos espelhar a inequação $5 \gt 2$:

\begin{equation*} 5 \gt 2 \\ 2 \lt 5 \, \textrm{.} \end{equation*}

Antes de espelhar tínhamos $5$ maior que $2$, após o espelhamento ficamos com $2$ menor que $5$.

Exemplo 8

Aqui, vamos encontrar os possíveis valores de $x$ espelhando a inequação $-1 \le 2 + x$:

\begin{equation*} -1 \le 2 + x \\ 2 + x \ge -1 \\ x \ge -1 - 2 \\ x \ge -3 \, \textrm{.} \end{equation*}

E assim, com ajuda do espelhamento, concluímos que $x$ é maior ou igual que $-3$.

Exemplo 9

Vamos espelhar a inequação $9 \ne x$:

\begin{equation*} 9 \ne x \\ x \ne 9 \, \textrm{.} \end{equation*}

Antes de espelhar tínhamos $9$ diferente de $x$, após o espelhamento ficamos com $x$ diferente de $9$. Dentre os sinais de desigualdade, $\ne$ é o único que não possui inversão.

Palavras finais

Em todos os exemplos eu utilizei números inteiros para facilitar o entendimento, mas tudo que você viu aqui se aplica a números reais. Bons estudos.



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