Inequações simples - Resumo Nível Médio

Uma inequação é uma expressão matemática dotada de um sinal de desigualdade. Nesta postagem revisaremos o cálculo de inequações simples e a interpretação do resultado com base no sinal de desigualdade.

Diferente do sinal de igualdade que só existe um, há diversos sinais de desigualdade, como você pode ver na Tabela 2, cada um com seu significado.

Tabela 2. Sinais de desigualdade.
Sinal Significado
$\ne$
é diferente de
$>$
é maior que
$<$
é menor que
$\geq$
é maior ou igual que
$\leq$
é menor ou igual que

Analogamente ao que fazemos nas equações, nas inequações podemos isolar a incógnita de um lado, calcular o valor do outro lado e analisar o resultado.

Interpretando inequações

Ao se resolver uma inequação, o valor encontrado deve ser interpretado de acordo com o significado do sinal de desigualdade.

Exemplo 1
\begin{equation*} -3+x>-5 \\ x>-5+3 \\ x>-2 \end{equation*}

E com isso interpretamos que $x$ é maior que $-2$, isto é, $x$ pode ser qualquer número maior que $-2$ como, por exemplo, $-1$, $0$, $1$, $2$, $3$, e etc.

Exemplo 2
\begin{equation*} x-8 \ne 4 \\ x \ne 4 + 8 \\ x \ne 12 \end{equation*}

E com isso interpretamos que $x$ é diferente de $12$, isto é, $x$ pode ser qualquer número exceto o $12$.

Exemplo 3
\begin{equation*} 6x-5 \le 1 \\ 6x \le 1 + 5 \\ 6x \le 6 \\ x \le \frac{6}{6} \\ x \le 1 \end{equation*}

E com isso interpretamos que $x$ é menor ou igual que $1$, isto é, $x$ pode ser qualquer número menor ou igual que $1$ como, por exemplo, $1$, $0$, $-1$, $-2$, e etc.

Operando inequações

Quase todas as regras de operação para equações se aplicam às inequações. A exceção se dá quando multiplicamos ou dividimos a expressão inteira por um número negativo; nesse caso, o sinal de desigualdade deve ser invertido (espelhado).

Exemplo 4
\begin{equation*} -2x-1 \le 3 \\ -2x \le 3+1 \\ -2x \le 4 \\ -x \le \frac{4}{2} \\ -x \le 2 \\ (-1) \cdot (-x) \ge (2) \cdot (-1) \\ x \ge 1 \end{equation*}

E com isso interpretamos que $x$ é maior ou igual que $1$. O sinal $\le$ foi invertido para $\ge$ devido a multiplicação pelo número negativo $-1$.

Exemplo 5
\begin{equation*} 3 > 3 + x \\ -x > 3-3 \\ -x > 0 \\ (-1) \cdot (-x) < 0 \cdot (-1) \\ x < 0 \end{equation*}

E com isso interpretamos que $x$ é menor que $0$. O sinal $>$ foi invertido para $<$ devido a multiplicação pelo número negativo $-1$.

Exemplo 6
\begin{equation*} x \ne 8 + 5x \\ x - 5x \ne 8 \\ -4x \ne 8 \\ -x \ne \frac{8}{4} \\ -x \ne 2 \\ (-1) \cdot (-x) \ne 2 \cdot (-1) \\ x \ne -2 \end{equation*}

E com isso interpretamos que $x$ é diferente de $-2$. Dentre os sinais de desigualdade, $\ne$ é o único que não possui inversão.

Espelhando inequações

Asim como multiplicar ou dividir por números negativos, podemos espelhar completamente uma inequação desde que o sinal de desigualdade seja invertido.

Exemplo 7
\begin{equation*} 5 > 2 \\ 2 < 5 \end{equation*}

Antes de espelhar tínhamos $5$ maior que $2$, após o espelhamento ficamos com $2$ menor que $5$.

Exemplo 8
\begin{equation*} -1 \le 2 + x \\ 2 + x \ge -1 \\ x \ge -1 - 2 \\ x \ge -3 \end{equation*}

E com isso, com ajuda do espelhamento, concluímos que $x$ é maior ou iqual que $-3$.

Exemplo 9
\begin{equation*} 9 \ne x \\ x \ne 9 \end{equation*}

Antes de espelhar tínhamos $9$ diferente de $x$, após o espelhamento ficamos com $x$ diferente de $9$. Dentre os sinais de desigualdade, $\ne$ é o único que não possui inversão.

Palavras finais

Em todos os exemplos eu utilizei números inteiros para facilitar o entendimento, mas tudo que você viu aqui se aplica a números reais. Bons estudos.



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