Equações simples - Resumo Nível Médio

O objetivo deste resumo é lembrarmos as regras de operação para equações simples.

Símbolos

Antes de começarmos, eu destaquei na Tabela 1 alguns símbolos que podem ser úteis na resolução de expressões matemáticas.

Tabela 1. Símbolos que podem ser utilizados em expressões matemáticas. Alguns símbolos adotados por outras referências podem diferir, mas esses são os adotados por mim.
Símbolo Significado
$\approx$
é aproximadamente
$\pm$
mais ou menos

Então, por exemplo, se $x = 5,1\,$, podemos escrever $x \approx 5$ e dizer que o valor de $x$ é aproximadamente (ou quase igual) a $5$; e se $x = \pm 5$ dizemos que o valor de $x$ pode ser igual a $+5$ e igual a $-5$.

Equações simples

Uma equação é uma expressão matemática dotada de um sinal de igualdade e utilizada para determinar números desconhecidos.

Exemplo 1
\begin{equation*} 3 + x = 15 \end{equation*}

No exemplo acima, $x$ é um número desconhecido, também chamado de incógnita. O valor da incógnita é encontrado quando a isolamos de um lado da igualdade e passamos a operar corretamente os números do outro lado.

Exemplo 2
\begin{equation*} 3 + x = 15 \\ x = 12 \end{equation*}

Equações com adição e subtração

Se uma equação for composta por operações de adição e subtração, podemos isolar a incógnita movendo os números para o outro lado da igualdade. O preço desse movimento é a troca de sinal.

Exemplo 3
\begin{equation*} 3+x = 12 \\ x = 12-3 \\ x = 9 \end{equation*}
Exemplo 4
\begin{equation*} 7+x-2 = 4 \\ x-2 = 4-7 \\ x = 4-7+2 \\ x = -1 \end{equation*}

A incógnita também pode ser trocada de lado.

Exemplo 5
\begin{equation*} 1 = 4-x+2 \\ 1+x = 4+2 \\ x = 4+2-1 \\ x = 5 \end{equation*}

Equações com multiplicação e divisão

Se uma equação possuir um número multiplicando em um de seus lados, podemos passá-lo para o outro lado dividindo e, depois, resolver a fração.

Exemplo 6
\begin{equation*} 3x=6 \\ x = \frac{6}{3} \\ x = 2 \end{equation*}

Note que todo número junto à esquerda de uma incógnita estará multiplicando-a, ou seja, $ 3x = 3 \cdot x $, $ 1x = 1 \cdot x$ $= x$, e assim por diante.

Exemplo 7
\begin{equation*} 7x=10 \\ x = \frac{10}{7} \\ x = 1,42857... \\ x \approx 1,4 \end{equation*}

Ainda, se um número estiver dividindo de um lado, podemos passá-lo para o outro lado multiplicando.

Exemplo 8
\begin{equation*} \frac{x}{8}=2 \\ x = 2 \cdot 8 \\ x = 16 \end{equation*}

Podemos também multiplicar ou dividir por um mesmo número ambos os lados de uma equação sem que o resultado seja alterado.

Exemplo 9

Neste exemplo, multiplicarei os dois lados da equação $x=3$ por 2.

\begin{equation*} x = 3 \\ (2) \cdot x = 3 \cdot (2) \\ 2x = 6 \\ x = \frac{6}{2} \\ x = 3 \end{equation*}
Exemplo 10

Aqui, dividirei a equação $x=8$ por 4.

\begin{equation*} x = 8 \\ \frac{x}{4} = \frac{8}{4} \\ \frac{x}{4} = 2 \\ x = 2 \cdot 4 \\ x = 8 \end{equation*}

Equações com incógnitas negativas

Se o resultado de uma equação for uma incógnita negativa, podemos multiplicar ambos os lados por −1 e operar obedecendo a regra de sinais.

Exemplo 11
\begin{equation*} 2x=2+3x \\ 2x-3x=2 \\ -1x=2 \\ -x=2 \\ (-1) \cdot (-x) = 2 \cdot (-1) \\ x = -2 \end{equation*}

Observe no Exemplo 11 que multiplicar uma equação por −1 é o mesmo que trocar todos os seus sinais: os de menos por mais e os de mais por menos.

Equações com potências e raízes

Sempre que for preciso, podemos elevar ambos os lados de uma equação a uma potência.

Exemplo 12
\begin{equation*} x^{\frac{1}{3}} = 2 \\ (x^\frac{1}{3})^3 = 2^3 \\ x^{\frac{3}{3}} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \\ x = 8 \end{equation*}
Exemplo 13
\begin{equation*} \sqrt{x} = 2 \\ \sqrt{x}^{\,2} = 2^2 \\ x = 4 \end{equation*}
Exemplo 14
\begin{equation*} x^3 = 1000 \\ \sqrt[3]{x^3} = \sqrt[3]{1000} \\ x = 10 \end{equation*}

Agora observe o exemplo a seguir.

Exemplo 15
\begin{equation*} x^2 = 9 \\ \sqrt{x^2} = \pm \sqrt{9} \\ x = \pm 3 \end{equation*}

No Exemplo 15, o símbolo $\pm$ foi inserido pois tanto +3 como −3 são resultados válidos. Ao aplicarmos a raiz quadrada, perdemos informação sobre o sinal.

\begin{equation*} (+3)^2 = (-3)^2 = 9 \end{equation*}

Então, sempre que formos aplicar raízes pares numa equação ($\sqrt{ \ \ }$, $\sqrt[4]{ \ \ }$, $\sqrt[6]{ \ \ }$, ...), o sinal $\pm$ deve ser colocado.

Exemplo 16
\begin{equation*} x^4 = 16 \\ \sqrt[4]{x^4} = \pm \sqrt[4]{16} \\ x = \pm 2 \end{equation*}

Equações com operações mistas

Podemos movimentar as adições e subtrações livremente pelos lados de uma equação, já as multiplicações e divisões precisam de um pouco mais de atenção: só podemos movimentá-las se o lado inteiro da equação estiver sendo operado por elas.

Exemplo 17
\begin{equation*} 1+\frac{5}{2}+3x=7+2x \\ 3x-2x=7-1-\frac{5}{2} \\ 1x=6-\frac{5}{2} \\ x=\frac{6 \cdot 2}{2}-\frac{5}{2} \\ x=\frac{12}{2}-\frac{5}{2} \\ x=\frac{7}{2} \end{equation*}

Veja uma outra forma de calcular a mesma equação.

\begin{equation*} 1+\frac{5}{2}+3x=7+2x \\ 1+\frac{5}{2}+3x-2x=7 \\ 1+\frac{5}{2}+x=7 \\ \frac{1 \cdot 2}{2}+\frac{5}{2}+\frac{2x}{2}=7 \\ \frac{2+5+2x}{2}=7 \\ 2+5+2x = 7 \cdot 2 \\ 2+5+2x = 14 \\ 2x = 14-2-5 \\ x = \frac{14-2-5}{2} \\ x = \frac{7}{2} \end{equation*}

Veja uma forma completamente errada de resolver a mesma equação. O erro está destacado em vermelho.

\begin{equation*} 1+\frac{5}{2}+3x=7+2x \\ 1+\frac{5}{2}+3x-2x=7 \\ 1+\frac{5}{2}+x=7 \end{equation*} \begin{equation*} 1+5+x = 7 \cdot 2 \end{equation*} \begin{equation*} 1+5+x = 14 \\ x = 14-1-5 \\ x = 8 \end{equation*}

É importante que você reveja os exemplos acima com muita calma, as pessoas costumam errar contas por falta de cuidado com essas regras.

Palavras finais

Você deve ter observado que na maioria dos exemplos eu utilizei números inteiros, isso foi para facilitar o entendimento. Tudo que você viu aqui se aplica a números reais. Para concluir, não se apegue ao nome $x$, a incógnita pode receber uma infinidade de nomes: $x$, $y$, $F$, $v$, $f(x)$, ... .



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