Equações simples - Resumo Nível Médio

Uma equação é uma expressão matemática dotada de um sinal de igualdade e utilizada para determinar números desconhecidos.

$$ 3 + x = 15 $$

No exemplo acima, x é um número desconhecido, também chamado de incógnita. O valor da incógnita é encontrado quando a isolamos de um lado da igualdade e operamos os números do outro lado.

$$ x = 12 $$

O objetivo deste resumo é revisarmos as regras de operação para equações simples.

Equações com adição e subtração

Se uma equação for composta por operações de adição e subtração, podemos isolar a incógnita movendo os números para o outro lado da igualdade. O preço desse movimento é a troca de sinal.

Exemplo 1
$$ 3+x = 12 $$ $$ x = 12-3 $$ $$ x = 9 $$
Exemplo 2
$$ 7+x-2 = 4 $$ $$ x-2 = 4-7 $$ $$ x = 4-7+2 $$ $$ x = -1 $$

A incógnita também pode ser trocada de lado.

Exemplo 3
$$ 1 = 4-x+2 $$ $$ 1+x = 4+2 $$ $$ x = 4+2-1 $$ $$ x = 5 $$
Exemplo 4
$$ 5-x = 3 $$ $$ 5 = 3+x $$ $$ 5-3 = x $$ $$ 2 = x $$ $$ x = 2 $$

Equações com multiplicação e divisão

Se a expressão possuir um número multiplicando, podemos passá-lo para o outro lado dividindo.

Exemplo 5
$$ 3x=6 $$ $$ x = \frac{6}{3} $$ $$ x = 2 $$

Note que todo número junto à esquerda de uma incógnita estará multiplicando-a, ou seja, $ 3x = 3 \cdot x $.

Se um número estiver dividindo, podemos passá-lo para o outro lado multiplicando.

Exemplo 6
$$ \frac{x}{8}=2 $$ $$ x = 2 \cdot 8 $$ $$ x = 16 $$

Podemos também multiplicar ou dividir por um número ambos os lados de uma equação sem que o resultado seja alterado.

Exemplo 7

Neste exemplo, multiplicarei os dois lados da equação $x=3$ por 2.

$$ x = 3 $$ $$ (2) \cdot x = 3 \cdot (2) $$ $$ 2x = 6 $$ $$ x = \frac{6}{2} $$ $$ x = 3 $$
Exemplo 8

Aqui, dividirei a equação $x=8$ por 4.

$$ x = 8 $$ $$ \frac{x}{4} = \frac{8}{4} $$ $$ \frac{x}{4} = 2 $$ $$ x = 2 \cdot 4 $$ $$ x = 8 $$

Incógnitas negativas

Se o resultado for uma incógnita negativa, podemos multiplicar a equação por -1.

Exemplo 9
$$ -x=2 $$ $$ (-1) \cdot (-x) = 2 \cdot (-1) $$ $$ x = -2 $$

Potências e raízes

Da mesma forma que na multiplicação, podemos elevar ambos os lados de uma equação a uma potência.

Exemplo 10
$$ x^{\frac{1}{3}} = 2 $$ $$ x^{\frac{3}{3}} = 2^3 $$ $$ x = 8 $$
Exemplo 11
$$ \sqrt{x} = 2 $$ $$ \sqrt{x}^2 = 2^2 $$ $$ x = 4 $$
Exemplo 12
$$ x^3 = 1000 $$ $$ \sqrt[3]{x^3} = \sqrt[3]{1000} $$ $$ x = 10 $$

Agora observe o exemplo a seguir.

Exemplo 13
$$ x^2 = 9 $$ $$ \sqrt{x^2} = \pm \sqrt{9} $$ $$ x = \pm 3 $$

No Exemplo 13, o sinal ± significa que tanto +3 como -3 são resultados válidos, pois ao aplicarmos a raiz estaremos perdendo informação sobre o sinal.

$$ 3^2 = (-3)^2 = 9 $$

Então, sempre que formos aplicar raízes pares numa equação ($\sqrt{ \ \ }$, $\sqrt[4]{ \ \ }$, $\sqrt[6]{ \ \ }$, ...), o sinal ± deverá ser colocado.

Exemplo 14
$$ x^4 = 16 $$ $$ \sqrt[4]{x^4} = \pm \sqrt[4]{16} $$ $$ x = \pm 2 $$

Equações com operações mistas

Podemos movimentar as adições e subtrações livremente pelos lados da equação, já as multiplicações e divisões precisam de um pouco mais de atenção: só podemos movimentá-las se o lado inteiro da equação estiver sendo operada por elas.

Exemplo 15
$$ 1+\frac{5}{2}+x=7 $$ $$ x=7-1-\frac{5}{2} $$ $$ x=6-\frac{5}{2} $$ $$ x=\frac{6 \cdot 2}{2}-\frac{5}{2} $$ $$ x=\frac{12}{2}-\frac{5}{2} $$ $$ x=\frac{7}{2} $$

Ou, de outra forma,

$$ 1+\frac{5}{2}+x=7 $$ $$ \frac{1 \cdot 2}{2}+\frac{5}{2}+\frac{2x}{2}=7 $$ $$ \frac{2+5+2x}{2}=7 $$ $$ 2+5+2x = 7 \cdot 2 $$ $$ 2+5+2x = 14 $$ $$ 2x = 14-2-5 $$ $$ x = \frac{14-2-5}{2} $$ $$ x = \frac{7}{2} $$

Forma completamente errada de resolver a mesma equação:

$$ 1+\frac{5}{2}+x=7 $$ $$ 1+5+x = 7 \cdot 2 $$ $$ 1+5+x = 14 $$ $$ x = 14-1-5 $$ $$ x = 8 $$

É importante que você reveja os exemplos acima com muita calma, pois muitos erram as contas por falta de cuidado com essas operações.

Palavras finais

Para concluir, não se apegue ao nome x. A incógnita pode receber uma infinidade de nomes: x, y, F, v, ... .



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