Equações simples - Resumo Nível Médio

Eu considero este resumo, que sucede o de potências, como o clímax da série de conteúdos preliminares.

Uma equação é uma expressão matemática dotada do sinal de igualdade e utilizada para determinar números desconhecidos.

$$ 3 + x = 15 $$

No exemplo acima, x é um número desconhecido, também chamado de incógnita. O valor da incógnita é encontrado quando a isolamos de um lado da igualdade e calculamos os números do outro lado.

$$ x = 12 $$

O objetivo deste resumo é relembrar as regras de operação para equações simples.

Equações com adição e subtração

Se uma equação for composta por operações de adição e subtração, podemos isolar a incógnita movendo os números para o outro lado da igualdade. O preço desse movimento é a troca de sinal.

Exemplo 1
$$ 3+x = 12 $$ $$ x = 12-3 $$ $$ x = 9 $$
Exemplo 2
$$ 7+x-2 = 4 $$ $$ x-2 = 4-7 $$ $$ x = 4-7+2 $$ $$ x = -1 $$

A incógnita também pode ser trocada de lado.

Exemplo 3
$$ 1 = 4-x+2 $$ $$ 1+x = 4+2 $$ $$ x = 4+2-1 $$ $$ x = 5 $$
Exemplo 4
$$ 5-x = 3 $$ $$ 5 = 3+x $$ $$ 5-3 = x $$ $$ 2 = x $$ $$ x = 2 $$

Equações com multiplicação e divisão

Se a expressão possuir um número multiplicando, podemos passá-lo para o outro lado dividindo.

Exemplo 1
$$ 3x=6 $$ $$ x = \frac{6}{3} $$ $$ x = 2 $$

Da mesma forma, se um número estiver dividindo, podemos passá-lo para o outro lado multiplicando.

Exemplo 2
$$ \frac{x}{8}=2 $$ $$ x = 2 \cdot 8 $$ $$ x = 16 $$

Podemos também multiplicar ou dividir por um número ambos os lados de uma equação sem que o resultado seja alterado.

Exemplo 3

Neste exemplo, multiplicaremos os dois lados da equação $x=3$ por 2.

$$ x = 3 $$ $$ (2) \cdot x = 3 \cdot (2) $$ $$ 2x = 6 $$ $$ x = \frac{6}{2} $$ $$ x = 3 $$
Exemplo 4

Aqui, dividiremos a equação $x=8$ por 4.

$$ x = 8 $$ $$ \frac{x}{4} = \frac{8}{4} $$ $$ \frac{x}{4} = 2 $$ $$ x = 2 \cdot 4 $$ $$ x = 8 $$

Incógnitas negativas

Se o resultado for uma incógnita negativa, podemos multiplicar a equação por -1.

Exemplo 1
$$ -x=2 $$ $$ (-1) \cdot (-x) = 2 \cdot (-1) $$ $$ x = -2 $$

Potências e raízes

Da mesma forma que na multiplicação, podemos elevar ambos os lados de uma equação a uma potência.

Exemplo 1
$$ x^{\frac{1}{3}} = 2 $$ $$ x^{\frac{3}{3}} = 2^3 $$ $$ x = 8 $$
Exemplo 2
$$ \sqrt{x} = 2 $$ $$ \sqrt{x}^2 = 2^2 $$ $$ x = 4 $$
Exemplo 3
$$ x^3 = 1000 $$ $$ \sqrt[3]{x^3} = \sqrt[3]{1000} $$ $$ x = 10 $$

Agora observe o exemplo a seguir.

Exemplo 4
$$ x^2 = 9 $$ $$ \sqrt{x^2} = \pm \sqrt{9} $$ $$ x = \pm 3 $$

No Exemplo 4, o sinal ± significa que tanto +3 como -3 são resultados válidos, pois ao aplicarmos a raiz estamos perdendo informação sobre o sinal.

$$ 3^2 = (-3)^2 = 9 $$

Então, sempre que formos aplicar raízes pares numa equação ($\sqrt{ \ \ }$, $\sqrt[4]{ \ \ }$, $\sqrt[6]{ \ \ }$, ...), o sinal ± deverá ser colocado.

Exemplo 5
$$ x^4 = 16 $$ $$ \sqrt[4]{x^4} = \pm \sqrt[4]{16} $$ $$ x = \pm 2 $$

Equações com operações mistas

Podemos movimentar as adições e subtrações livremente pelos lados da equação, já as multiplicações e divisões precisam de um pouco mais de atenção: só podemos movimentá-las se o lado inteiro da equação estiver sendo operada por elas.

Exemplo 1
$$ 1+\frac{5}{2}+x=7 $$ $$ x=7-1-\frac{5}{2} $$ $$ x=6-\frac{5}{2} $$ $$ x=\frac{6 \cdot 2}{2}-\frac{5}{2} $$ $$ x=\frac{12}{2}-\frac{5}{2} $$ $$ x=\frac{7}{2} $$

Ou, de outra forma,

$$ 1+\frac{5}{2}+x=7 $$ $$ \frac{1 \cdot 2}{2}+\frac{5}{2}+\frac{2x}{2}=7 $$ $$ \frac{2+5+2x}{2}=7 $$ $$ 2+5+2x = 7 \cdot 2 $$ $$ 2+5+2x = 14 $$ $$ 2x = 14-2-5 $$ $$ x = \frac{14-2-5}{2} $$ $$ x = \frac{7}{2} $$

Forma completamente errada de se resolver a mesma equação:

$$ 1+\frac{5}{2}+x=7 $$ $$ 1+5+x = 7 \cdot 2 $$ $$ 1+5+x = 14 $$ $$ x = 14-1-5 $$ $$ x = 8 $$

É importante que você reveja as resoluções acima com muita calma, pois muitos erram as contas por falta de cuidado com essas operações.

Para concluir, não se apegue ao nome x. A incógnita pode receber uma infinidade de nomes: x, y, F, v, ... .

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