Equações simples (resumo nível médio)

O objetivo deste resumo, de nível médio, é relembrar as regras de operação para equações simples, uma vez que, na física, muitos problemas são traduzidos em equações.

Símbolos

Antes de começar, eu destaquei na Tabela 1 alguns símbolos que podem ser úteis na resolução de expressões matemáticas.

Tabela 1. Símbolos que podem ser utilizados em expressões matemáticas. Alguns símbolos adotados por outras referências podem diferir, mas esses são os adotados por mim.
Símbolo Significado
$\approx$
é aproximadamente
$\pm$
mais ou menos

Para exemplificar, se $x = 5{,}1$, podemos escrever $x \approx 5$ e dizer que o valor de $x$ é aproximadamente (ou quase igual) a $5$; e se $x = \pm 5$ dizemos que o valor de $x$ pode ser igual a $+5$ e igual a $-5$.

Equações simples

Uma equação é uma expressão matemática dotada de um sinal de igualdade e utilizada para determinar números desconhecidos.

Exemplo 1

Exemplo de uma equação: $3 + x = 15$.

No exemplo acima, $x$ é um número desconhecido, também chamado de incógnita. O valor da incógnita é encontrado quando a isolamos de um lado da igualdade e passamos a operar corretamente os números do outro lado.

Exemplo 2

Solução da equação do Exemplo 1:

$$ x=12 \, \textrm{.} $$

Observe que, no Exemplo 1, ao substituir $x$ por $12$, o lado esquerdo do sinal de igualdade torna-se igual ao lado direito.

Equações com adição e subtração

Se uma equação for composta por operações de adição e subtração, podemos isolar a incógnita movendo os números para o outro lado da igualdade. O preço desse movimento é a troca de sinal.

Exemplo 3

Neste exemplo, vamos resolver a equação $3+x=12$:

\begin{equation*} 3+x = 12 \\ x = 12-3 \\ x = 9 \, \textrm{.} \end{equation*}
Exemplo 4

Aqui, vamos resolver a equação $7+x-2=4$:

\begin{equation*} 7+x-2 = 4 \\ x-2 = 4-7 \\ x = 4-7+2 \\ x = -1 \, \textrm{.} \end{equation*}

A incógnita também pode ser trocada de lado.

Exemplo 5

Vamos resolver a equação $1 = 4-x+2$:

\begin{equation*} 1 = 4-x+2 \\ 1+x = 4+2 \\ x = 4+2-1 \\ x = 5 \, \textrm{.} \end{equation*}

Equações com multiplicação e divisão

Se uma equação possuir um número multiplicando todo um lado, podemos passá-lo para o outro lado dividindo e, depois, resolver a fração.

Exemplo 6

Como exemplo, vamos resolver a equação $3 \cdot x=6$:

\begin{equation*} 3 \cdot x=6 \\ 3x=6 \\ x = \frac{6}{3} \\ x = 2 \, \textrm{.} \end{equation*}

Note que todo número junto à esquerda de uma incógnita estará multiplicando-a, ou seja, $ 3x = 3 \cdot x $.

Exemplo 7

Neste exemplo, vamos resolver a equação $7x=10$:

\begin{equation*} 7x=10 \\ x = \frac{10}{7} \\ x = 1{,}42857... \\ x \approx 1{,}4 \, \textrm{.} \end{equation*}

Ainda, se um número estiver dividindo todo um lado, podemos passá-lo para o outro lado multiplicando.

Exemplo 8

Vamos resolver a equação $x/8=2$:

\begin{equation*} \frac{x}{8}=2 \\ x = 2 \cdot 8 \\ x = 16 \, \textrm{.} \end{equation*}

Podemos, também, multiplicar ou dividir por um mesmo número ambos os lados de uma equação sem que o resultado seja alterado.

Exemplo 9

Neste exemplo, multiplicarei os dois lados da equação $x=3$ por $2$:

\begin{equation*} x = 3 \\ (2) \cdot x = 3 \cdot (2) \\ 2x = 6 \\ x = \frac{6}{2} \\ x = 3 \, \textrm{.} \end{equation*}
Exemplo 10

Aqui, dividirei a equação $x=8$ por $4$. Observe:

\begin{equation*} x = 8 \\ \frac{x}{4} = \frac{8}{4} \\ \frac{x}{4} = 2 \\ x = 2 \cdot 4 \\ x = 8 \, \textrm{.} \end{equation*}

Equações com incógnitas negativas

Se o resultado de uma equação for uma incógnita negativa, podemos multiplicar ambos os lados por $-1$ e operar obedecendo a regra de sinais.

Exemplo 11

Vamos encontrar o valor da incógnita da equação $2x=2+3x$:

\begin{equation*} 2x=2+3x \\ 2x-3x=2 \\ -1x=2 \\ -x=2 \\ (-1) \cdot (-x) = 2 \cdot (-1) \\ x = -2 \, \textrm{.} \end{equation*}

Observe no Exemplo 11 que multiplicar uma equação por $-1$ é o mesmo que trocar todos os seus sinais: os de menos por mais e os de mais por menos.

Equações com potências e raízes

Sempre que for preciso, podemos elevar ambos os lados de uma equação a uma potência.

Exemplo 12

Neste exemplo, vou elevar a equação $x^{1/3}=2$ ao cubo para encontrar o valor de $x$. Observe:

\begin{equation*} x^{\frac{1}{3}} = 2 \\ (x^\frac{1}{3})^3 = 2^3 \\ x^{\frac{3}{3}} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \\ x = 8 \, \textrm{.} \end{equation*}
Exemplo 13

Neste exemplo, vou elevar a equação $\sqrt{x}=2$ ao quadrado para encontrar o valor de $x$:

\begin{equation*} \sqrt{x} = 2 \\ \sqrt{x}^{\,2} = 2^2 \\ x = 4 \, \textrm{.} \end{equation*}
Exemplo 14

Neste exemplo, vou extrair a raiz cúbica da equação $x^3=1{.}000$ para encontrar o valor de $x$:

\begin{equation*} x^3 = 1{.}000 \\ \sqrt[3]{x^3} = \sqrt[3]{1{.}000} \\ x = 10 \, \textrm{.} \end{equation*}
Exemplo 15

Neste exemplo, vamos extrair a raiz quadrada da equação $x^2=9$ para encontrarmos o valor de $x$:

\begin{equation*} x^2 = 9 \\ \sqrt{x^2} = \pm \sqrt{9} \\ x = \pm 3 \, \textrm{.} \end{equation*}

No Exemplo 15, o símbolo $\pm$ foi inserido pois tanto $3$ como $-3$ são resultados válidos, pois, $(+3)^2=(-3)^2=9$. Ao aplicarmos a raiz quadrada, perdemos informação sobre o sinal. Então, sempre que formos aplicar raízes pares numa equação ($\sqrt{ \ \ }$, $\sqrt[4]{ \ \ }$, $\sqrt[6]{ \ \ }$, ...), o sinal $\pm$ deve obrigatoriamente ser colocado.

Exemplo 16

Neste exemplo, vamos extrair a raiz quarta da equação $x^4=16$ para encontrar o valor de $x$:

\begin{equation*} x^4 = 16 \\ \sqrt[4]{x^4} = \pm \sqrt[4]{16} \\ x = \pm 2 \, \textrm{.} \end{equation*}

Equações com operações mistas

Podemos movimentar as adições e subtrações livremente pelos lados de uma equação, já as multiplicações e divisões precisam de um pouco mais de atenção: só podemos movimentá-las se o lado inteiro da equação estiver sendo operado por elas.

Exemplo 17

Como exemplo final, vamos encontrar o valor da incógnita $x$ da equação $1+5/2+3x=7+2x$:

\begin{equation*} 1+\frac{5}{2}+3x=7+2x \\ 3x-2x=7-1-\frac{5}{2} \\ 1x=6-\frac{5}{2} \\ x=\frac{6 \cdot 2}{2}-\frac{5}{2} \\ x=\frac{12}{2}-\frac{5}{2} \\ x=\frac{7}{2} \, \textrm{.} \end{equation*}

Veja uma outra forma de se resolver a mesma equação:

\begin{equation*} 1+\frac{5}{2}+3x=7+2x \\ 1+\frac{5}{2}+3x-2x=7 \\ 1+\frac{5}{2}+x=7 \\ \frac{1 \cdot 2}{2}+\frac{5}{2}+\frac{2x}{2}=7 \\ \frac{2+5+2x}{2}=7 \\ 2+5+2x = 7 \cdot 2 \\ 2+5+2x = 14 \\ 2x = 14-2-5 \\ x = \frac{14-2-5}{2} \\ x = \frac{7}{2} \, \textrm{.} \end{equation*}

Agora, veja uma forma completamente errada de se resolver a mesma equação (o passo errado está destacado em vermelho):

\begin{equation*} 1+\frac{5}{2}+3x=7+2x \\ 1+\frac{5}{2}+3x-2x=7 \\ 1+\frac{5}{2}+x=7 \end{equation*} \begin{equation*} 1+5+x = 7 \cdot 2 \end{equation*} \begin{equation*} 1+5+x = 14 \\ x = 14-1-5 \\ x = 8 \, \textrm{.} \end{equation*}

É importante que você reveja todos os exemplos acima com muita calma, os estudantes costumam errar contas por falta de cuidado com essas regras.

Palavras finais

Você deve ter observado que na maioria dos exemplos eu utilizei números inteiros, isso foi para facilitar o entendimento. Tudo que você viu aqui se aplica a números reais.

Para concluir, não se apegue ao nome $x$, a incógnita pode receber uma infinidade de nomes: $x$, $y$, $F$, $v$, ... .



Nenhum comentário:

Postar um comentário