Função, de maneira muito simples, é uma expressão que governa a relação entre elementos matemáticos. Neste resumo, relembraremos como isso funciona e o porquê de ser tão importante para a física.
Definição
Se $y$ é uma função de
interpretamos que $y$ pode resultar em diferentes valores, dependendo do valor de
Complicado? Não se preocupe, veremos com mais detalhes.
Na física, é muito comum que a velocidade $v$ de algum objeto dependa do instante de tempo
Usando valores numéricos, se no instante $t$ igual a $5$ segundos o objeto está com velocidade $v$ igual a $20$ metros por segundo, podemos escrever
\begin{equation*} v(5)=20 \pt \end{equation*}Simples, não é mesmo? A seguir, revisaremos as funções mais utilizadas na física.
Funções constantes
Uma função $f$ é constante com relação a $x$ se
sua expressão não depender de
É muito comum e intuitivo o emprego das letras $c$ e $k$ para se referir a uma constante e das abreviações $\txt{const.}$ e $\txt{cte}$ para a palavra constante.
Um determinado carro esportivo possui posição em metro dada pela função
No instante inicial,
Em
Por fim, o motorista informou que o carro nunca saiu e nunca vai sair do lugar pois está sem motor 🤷♂️.
A conclusão é que o carro permaneceu na mesma posição durante toda a análise,
\begin{equation*} x(t) = 3 \pt \end{equation*}Ou seja, não importa qual seja o instante de tempo, a posição será sempre a mesma — igual a $3$ metros.
Note que, na última expressão, não há $t$ no lado direito da igualdade. Então, nesse caso, $x$ não depende de $t$ e dizemos que a posição é uma função constante com relação ao instante de tempo.
Funções afins
Se $f(x)$ é uma função afim, ou de primeiro grau, ela depende de
potências
unitárias de
onde a constante $b$ é chamada de coeficiente angular e a $c$ de coeficiente linear.
Quando o coeficiente angular é nulo,
Quando o coeficiente linear é nulo,
Nas funções afins, podemos destacar três comportamentos interessantes que dependem do coeficiente angular:
-
se o coeficiente angular for positivo,
$b \gt 0$, dizemos que a função é crescente, isto é, $f$ aumenta conforme $x$ aumenta; -
se o coeficiente angular for negativo,
$b \lt 0$, dizemos que a função é decrescente, isto é, $f$ diminui conforme $x$ aumenta; -
e, como já vimos, se o coeficiente angular for nulo,
$b=0$, a função afim é, na verdade, uma função constante.
Também podemos determinar o valor de $x$ para quando a função $f$ é nula. Basta substituirmos $f(x)=0$ na Equação (4) para concluirmos que
\begin{equation} x = -\frac{c}{b} \pt \end{equation}O resultado acima também é conhecido como a raíz ou o zero da função afim.
Ao realizar um experimento controlado, um cientista verificou que a velocidade de uma bola é uma função afim com relação à posição e anotou seus resultados na Tabela 3-1.
| Velocidade |
Posição |
|---|---|
Com esses dados podemos determinar a expressão
que rege a velocidade $v$ dessa bola como função da posição
Como já foi afirmado que a velocidade dessa bola é uma função afim,
isto é,
\begin{align*} c=5 \pt \end{align*}
Já para
Ou seja, resolvendo a equação acima:
\begin{equation*} b+5=15 \\ b=15-5 \vg \end{equation*}isto é,
\begin{align*} b=10 \pt \end{align*}
Então, como
Observe que a função encontrada é crescente pois o coeficiente angular é positivo. Então, quanto maior o valor $x$ da posição, maior a velocidade $v$ da bola do cientista.
Também podemos encontrar a posição onde a velocidade da bola é igual a zero. Como vimos na Equação (7),
\begin{equation*} 0=10x+5 \\ 10x=-5 \\ x=-\frac{5}{10} \\ x=-0{,}5 \pt \end{equation*}Assim, na posição $-0{,}5$ metro, a bola está (esteve ou estará) parada, pois sua velocidade é nula.
Funções quadráticas
Se $f(x)$ é uma função quadrática, ou de segundo grau, ela depende de
potências
quadradas de
onde nomearei a constante $a$ como coeficiente parabólico.
Quando o coeficiente parabólico é nulo,
Funções quadráticas possuem ou um máximo ou um mínimo.
O valor desse máximo ou mínimo de $f(x)$ ocorre para
um determinado valor de
Com isso, podemos destacar três comportamentos interessantes que dependem do coeficiente parabólico:
-
se o coeficiente parabólico for positivo,
$a \gt 0$, a função quadrática terá um valor mínimo, $f$ nunca será menor que esse valor mínimo; -
se o coeficiente parabólico for negativo,
$a \lt 0$, a função quadrática terá um valor máximo, $f$ nunca será maior que esse valor máximo; -
se o coeficiente parabólico for nulo,
$a=0$, a função quadrática é, na verdade, uma função afim (como já vimos).
Também podemos determinar os zeros (ou as raízes) de uma função quadrática.
Há dois valores de $x$ para quando
e
\begin{equation} x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \pt \end{equation}
É costumeiro utilizar o símbolo
Após jogar uma pedra para cima, um engenheiro concluiu que a
altura $y$ dela, a partir do chão, era dependente do instante
Bom, para podermos melhor comparar $y(t)$ com a Equação (8), vamos rearranjar os termos:
\begin{equation*} y(t) = -5t^2 + 2t + 1 \pt \end{equation*}
Agora ficou melhor.
Note que o coeficiente parabólico é negativo,
Vamos calcular, através da Equação (10), o instante $t=t_\text{A}$ em que a pedra atingiu a altura máxima:
\begin{align*} t_\text{A} &= \frac{-b}{2a} \\ &= \frac{-2}{2 \cdot (-5)} \\ &= \frac{-2}{-10} \\ &= \frac{2}{10} \\ &= 0{,}2 \pt \end{align*}
Então, no instante $t_\text{A}=0{,}2$ a pedra chegou na altura máxima.
A altura máxima pode ser calculada se substituirmos
$t=t_\text{A}$ na função
Então a altura máxima, em metro, é igual a
Para finalizar, se $y(t)$ é a altura da pedra desde o chão, quando essa função for nula é porque a pedra tocou o chão. Através da Equação (13) podemos encontrar o instante $t=t_\text{B}$ em que isso aconteceu:
\begin{align*} t_\text{B} &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ &= \frac{-2 \pm \sqrt{2^2-4 \cdot(-5) \cdot 1}}{2 \cdot (-5)} \\ &= \frac{-2 \pm \sqrt{24}}{-10} \\ &\approx \frac{-2 \pm 4{,}9}{-10} \pt \end{align*}Ou seja, $t_\text{B}$ pode assumir dois valores:
\begin{align*} t_{\text{B}1} &\approx \frac{-2 + 4{,}9}{-10} \\ &\approx -0{,}29 \end{align*}e
\begin{align*} t_{\text{B}2} &\approx \frac{-2 - 4{,}9}{-10} \\ &\approx 0{,}69 \pt \end{align*}
Neste ponto, devemos concordar que valores negativos
para o tempo não faz muito sentido para o problema apresentado
(o experimento teve início em
Palavras finais
Pos é, é um baita de um resumo entediante, cansativo e sem muita aplicação aparente. Mas fique tranquilo(a), faça o melhor que você puder e faça no seu tempo.
É recomendável que você resolva alguns exercícios que envolvem funções para fixar os conceitos deste resumo.
Notas
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