Anúncio

Funções simples (resumo nível médio)

Lousas contendo as expressões 'y=f(x)' e 'f(x0)=y0'

Função, de maneira muito simples, é uma expressão que governa a relação entre elementos matemáticos. Neste resumo relembraremos como isso funciona e o porquê de ser tão importante para a física.

Definição

Se $y$ é uma função de $x$, escrevemos

\begin{equation} y = f(x) \vg \end{equation}

interpretamos que $y$ pode resultar em diferentes valores dependendo do valor de $x$ e que esses valores são regidos por $f$. Assim, dizemos que $x$ é uma variável e que $f$ é uma função que depende da variável $x$. Então, se ao fixar $x=x_0$ o resultado for $y=y_0$, escrevemos que

\begin{equation} f(x_0) = y_0 \pt \end{equation}

Complicado? Se você não entendeu, não se preocupe, veremos com mais detalhes.

Exemplo 1

Na física é muito comum que a posição $s$ de algum objeto dependa do instante $t$. Assim, dizemos que sua posição é uma função do instante, $s(t)$, e interpretamos que, a cada instante $t$, esse objeto esteve, está ou estará numa posição $s$.

Usando valores numéricos, se no instante $t$ igual a $5$ segundos o objeto está na posição $s$ igual a $20$ metros, podemos escrever

\begin{equation*} s(5)=20 \pt \end{equation*}

Simples, não é mesmo? A seguir, revisaremos as funções mais utilizadas na física.

Funções constantes

Uma função $f$ é constante com relação a $x$ se sua expressão não depender de $x$. Ou seja, não importa qual seja o valor de $x$, $f(x)$ será sempre igual a uma mesma constante.

\begin{equation} f(x) = c \end{equation}

É muito comum e intuitivo o emprego das letras $c$ e $k$ para se referir a uma constante e das abreviações $\txt{const.}$ e $\txt{cte}$ para a palavra constante.

Exemplo 2

Um determinado carro esportivo possui posição em metro dada pela função $s(t)$ onde $t$ é o instante de tempo em segundo.

No instante inicial, $t=0$, o motorista informou que o carro estava na posição $s=3$.

\begin{equation*} s(0) = 3 \end{equation*}

Em $t=7$, o motorista disse que o carro estava na posição $s=3$.

\begin{equation*} s(7) = 3 \end{equation*}

Por fim, o motorista informou que o carro nunca saiu e nunca vai sair do lugar pois está sem motor 🤷‍♂️.

A conclusão é que o carro permaneceu na mesma posição durante toda a análise,

\begin{equation*} s(t) = 3 \pt \end{equation*}

Ou seja, não importa qual seja o instante de tempo, a posição será sempre a mesma — igual a $3$ metros.

Note que, na última expressão, não há $t$ no lado direito da igualdade; então, nesse caso, $s$ não depende de $t$ e dizemos que é uma função constante com relação ao instante de tempo.


Funções afins

Se $f(x)$ é uma função afim, ou de primeiro grau, ela depende de potências unitárias de $x$. De maneira geral, podemos escrever

\begin{equation} f(x) = bx + c \vg \end{equation}

onde a constante $b$ é chamada de coeficiente angular e a $c$ de coeficiente linear.

Quando o coeficiente angular é nulo, $b=0$, a função afim se reduz a uma função constante:

\begin{align} \begin{split} f(x) &= 0 \cdot x + c \\ &= c \pt \end{split} \end{align}

Quando o coeficiente linear é nulo, $c=0$, dizemos que $f(x)$ é uma função linear1 e podemos escrever

\begin{align} \begin{split} f(x) &= bx + 0 \\ &= bx \pt \end{split} \end{align}

Nas funções afins podemos destacar três comportamentos interessantes que dependem do coeficiente angular:

  • se o coeficiente angular for positivo, $b \gt 0$, dizemos que a função é crescente, isto é, $f$ aumenta conforme $x$ aumenta;
  • se o coeficiente angular for negativo, $b \lt 0$, dizemos que a função é decrescente, isto é, $f$ diminui conforme $x$ aumenta;
  • e, como já vimos, se o coeficiente angular for nulo, $b=0$, a função afim é, na verdade, uma função constante.

Também podemos determinar o valor de $x$ para quando a função $f$ é nula, basta substituirmos $f(x)=0$ na Equação (4) para concluirmos que

\begin{equation} x = -\frac{c}{b} \pt \end{equation}

O resultado acima também é conhecido como o zero da função afim.

Exemplo 3

Ao realizar um experimento controlado, um cientista verificou que a velocidade de uma bola é linear (afim) com relação a posição e anotou seus resultados na Tabela 3-1.

Tabela 3-1. Velocidade da bola do cientista em metro por segundo ($\mathrm{m/s}$) como função afim da posição em metro ($\mathrm{m}$).
Velocidade ($\mathrm{m/s}$) Posição ($\mathrm{m}$)
5
0
15
1

Com esses dados podemos determinar a expressão que rege a velocidade $v$ dessa bola como função da posição $x$. Da Tabela 3-1, quando $x=0$ temos $v=5$; quando $x=1$, $v=15$.

\begin{equation*} v(0) = 5 \\ v(1) = 15 \end{equation*}

Como já foi afirmado que a velocidade dessa bola é uma função afim, $v(x)=bx+c$. Para $x=0$, temos:

\begin{align*} v(0) = 5 &= b \cdot 0 + c \\ &= c \vg \end{align*}

isto é,

\begin{align*} c=5 \pt \end{align*}

Já para $x=1$, temos:

\begin{align*} v(1) = 15 &= b \cdot 1 + c \\ &= b + 5 \pt \end{align*}

Ou seja, resolvendo a equação acima:

\begin{equation*} b+5=15 \\ b=15-5 \vg \end{equation*}

isto é,

\begin{align*} b=10 \pt \end{align*}

Então, como $v(x)=bx+c$,

\begin{equation*} v(x)=10x+5 \pt \end{equation*}

Observe que a função encontrada é crescente pois o coeficiente angular é positivo; então, quanto maior o valor $x$ da posição, maior a velocidade $v$ da bola do cientista.

Também podemos encontrar a posição onde a velocidade da bola é igual a zero. Como vimos na Equação (7),

\begin{equation*} 0=10x+5 \\ 10x=-5 \\ x=-\frac{5}{10} \\ x=-0{,}5 \pt \end{equation*}

Assim, na posição $-0{,}5$ metro, a bola está (esteve ou estará) parada, pois sua velocidade é nula.


Funções quadráticas

Se $f(x)$ é uma função quadrática, ou de segundo grau, ela depende de no máximo potências quadradas de $x$. De maneira geral,

\begin{equation} f(x) = ax^2 + bx + c \vg \end{equation}

onde nomearei a constante $a$ como coeficiente parabólico.

Quando o coeficiente parabólico é nulo, $a=0$, a função quadrática se reduz a uma função afim:

\begin{align} \begin{split} f(x) &= 0 \cdot x^2 + bx + c \\ &= bx+c \pt \end{split} \end{align}

Funções quadráticas possuem ou um máximo ou um mínimo. O valor desse máximo ou mínimo de $f(x)$ ocorre para um determinado valor de $x$ dado por

\begin{equation} x = \frac{-b}{2a} \pt \end{equation}

Ainda, nas funções quadráticas podemos destacar três comportamentos interessantes que dependem do coeficiente parabólico:

  • se o coeficiente parabólico for positivo, $a \gt 0$, a função quadrática terá um valor mínimo, $f$ nunca será menor que esse valor mínimo;
  • se o coeficiente parabólico for negativo, $a \lt 0$, a função quadrática terá um valor máximo, $f$ nunca será maior que esse valor máximo;
  • se o coeficiente parabólico for nulo, $a=0$, a função quadrática é, na verdade, uma função afim (como já vimos).

Também podemos determinar os zeros — também chamados de raízes — de uma função quadrática. Há dois valores de $x$ para quando $f(x)=0$:

\begin{equation} x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{equation}

e

\begin{equation} x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \pt \end{equation}

É costumeiro utilizar o símbolo $\pm$ para agrupar as Equações (11) e (12) em uma única expressão:

\begin{equation} x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \pt \end{equation}
Exemplo 4

Após jogar uma pedra para cima, um engenheiro concluiu que a altura $y$ dela, a partir do chão, era dependente do instante $t$. Mais que isso, ele percebeu que a altura dela em metro, como função do tempo em segundo, era dada por

\begin{equation*} y(t) = 1 + 2t -5t^2 \pt \end{equation*}

Bom, para podermos melhor comparar $y(t)$ com a Equação (8), vamos rearranjar os termos:

\begin{equation*} y(t) = -5t^2 + 2t + 1 \pt \end{equation*}

Agora ficou melhor. Note que o coeficiente parabólico é negativo, $a \lt 0$, isso significa que a função tem um valor máximo. Se a função $y$ representa a altura da pedra, esse valor máximo é a altura máxima que a pedra atingiu.

Vamos calcular, através da Equação (10), o instante $t=t_\text{A}$ em que a pedra atingiu a altura máxima:

\begin{align*} t_\text{A} &= \frac{-b}{2a} \\ &= \frac{-2}{2 \cdot (-5)} \\ &= \frac{-2}{-10} \\ &= \frac{2}{10} \\ &= 0{,}2 \pt \end{align*}

Então, no instante $t_\text{A}=0{,}2$ a pedra chegou na altura máxima. A altura máxima pode ser calculada se substituirmos $t=t_\text{A}$ na função $y(t)$:

\begin{align*} y(t_\text{A}) &= y(0{,}2) \\ &= -5 \cdot (0{,}2)^2 + 2 \cdot 0{,}2 + 1 \\ &= -5 \cdot 0{,}04 + 0{,}4 + 1 \\ &= -0{,}2 + 0{,}4 + 1 \\ &= 1{,}2 \pt \end{align*}

Então a altura máxima, em metro, é igual a $1{,}2$. Interessante, não é mesmo? Se $t_\text{A}$ é o instante em que a pedra atingiu a altura máxima, $y(t_\text{A})$ é a própria altura máxima, como representado na Animação 4-1.

Animação de pedra arremessada para cima ao lado de escala métrica de distância
Animação 4-1. Simulação temporal, fora de escala, da pedra jogada pelo engenheiro. No instante $t=0$ ele jogou a pedra, em $t=t_\text{A}$ a pedra atingiu a altura máxima e em $t=t_\text{B}$ a pedra encostou no chão.

Para finalizar, se $y(t)$ é a altura da pedra desde o chão, quando essa função for nula é porque a pedra tocou o chão. Através da Equação (13) podemos encontrar o instante $t=t_\text{B}$ em que isso aconteceu:

\begin{align*} t_\text{B} &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ &= \frac{-2 \pm \sqrt{2^2-4 \cdot(-5) \cdot 1}}{2 \cdot (-5)} \\ &= \frac{-2 \pm \sqrt{24}}{-10} \\ &\approx \frac{-2 \pm 4{,}9}{-10} \pt \end{align*}

Ou seja, $t_\text{B}$ pode assumir dois valores:

\begin{align*} t_{\text{B}1} &\approx \frac{-2 + 4{,}9}{-10} \\ &\approx -0{,}29 \end{align*}

e

\begin{align*} t_{\text{B}2} &\approx \frac{-2 - 4{,}9}{-10} \\ &\approx 0{,}69 \pt \end{align*}

Neste ponto, devemos concordar que valores negativos para o tempo não faz muito sentido para o problema apresentado (o experimento teve início em $t=0$). Então, o instante em que a pedra atingiu o chão, em segundo, foi $t_\text{B}=t_{\text{B}2}=0{,}69$.


Palavras finais

Pos é, é um baita de um resumo entediante, cansativo e sem muita aplicação aparente. Mas fique tranquilo(a), faça o melhor que você puder e faça no seu tempo.

É recomendável que você resolva alguns exercícios que envolvem funções para fixar os conceitos deste resumo.

Spoiler: no decorrer dos próximos resumos você possivelmente verá mais ilustrações e aplicações. 😉

Notas

1 O que foi chamado aqui de função linear, alguns autores preferem chamar de função linear pura ou função linear homogênea; assim, o que foi chamado aqui de função afim eles simplesmente chamariam de função linear.



Nenhum comentário:

Postar um comentário