Funções simples - Resumo Nível Médio

Função, de maneira muito simples, é uma expressão que governa a relação entre elementos matemáticos. Se $y$ é uma função de $x$, escrevemos

\begin{equation} y = f(x) \text{,} \end{equation}

interpretamos que $y$ pode resultar em diferentes valores dependendo do valor de $x$ e que esses valores são regidos pela função $f$. Então, se ao fixar $x=x_0$ o resultado for $y=y_0$, escrevemos que

\begin{equation} f(x_0) = y_0 \text{.} \end{equation}

Se você não entendeu, não se preocupe, exemplificarei melhor.

Exemplo 1

Na Física é muito comum que a posição $s$ de algum objeto dependa do instante de tempo $t$. Assim, dizemos que sua posição é uma função do tempo, $s(t)$, e interpretamos que, a cada instante de tempo $t$, esse objeto esteve, está ou estará numa posição $s$.

Usando valores, se no instante $t = 5$ o objeto está na posição $s=20$, podemos escrever $s(5)=20$.

A seguir, revisaremos as funções mais utilizadas na Física.

Funções constantes

Uma função $f$ é constante com relação a $x$ se sua expressão não depender de $x$. Ou seja, não importa qual seja o valor de $x$, $f(x)$ será sempre igual a uma mesma constante $c$.

\begin{equation} f(x) = c \end{equation}

É muito comum e intuitivo o emprego das letras $c$ e $k$ para se referir a uma constante e das abreviações const. e cte para a palavra constante.

Exemplo 2

Um determinado carro esportivo possui posição dada pela função $s(t)$ onde $t$ é o instante de tempo.

No instante $t=0$, o motorista informou que o carro estava na posição $s=3$.

\begin{equation*} s(0) = 3 \end{equation*}

Em $t=7$, o motorista disse que o carro estava na posição $s=3$.

\begin{equation*} s(7) = 3 \end{equation*}

Por fim, o motorista informou que o carro nunca saiu e nunca vai sair do lugar. O carro está sem motor 🤷‍♂️.

A conclusão é que o carro permaneceu na mesma posição durante toda a análise, ou seja,

\begin{equation*} s(t) = 3 \text{.} \end{equation*}

Note na expressão acima que não há $t$ no lado direito da igualdade; então, nesse caso, $s$ não depende de $t$, é uma função constante com relação ao tempo.

Funções afins

Se $f(x)$ é uma função afim, ou de primeiro grau, ela depende de potências unitárias de $x$. De maneira geral, podemos escrever

\begin{equation} f(x) = bx + c \text{,} \end{equation}

onde a constante $b$ é chamada de coeficiente angular e a $c$ de coeficiente linear.

Quando o coeficiente angular é nulo, $b=0$, a função afim se reduz a uma função constante:

\begin{align} \begin{split} f(x) &= 0 \cdot x + c \\ &= c \text{.} \end{split} \end{align}

Quando o coeficiente linear é nulo, $c=0$, dizemos que $f(x)$ é uma função linear* e podemos escrever

\begin{align} \begin{split} f(x) &= bx + 0 \\ &= bx \text{.} \end{split} \end{align}

Nas funções afins podemos destacar três comportamentos interessantes que dependem do coeficiente angular:

  • se o coeficiente angular for positivo, $b>0$, dizemos que a função é crescente, isto é, $f$ aumenta conforme $x$ aumenta;
  • se o coeficiente angular for negativo, $b<0$, dizemos que a função é decrescente, isto é, $f$ diminui conforme $x$ aumenta;
  • e, como já vimos, se o coeficiente angular for nulo, $b=0$, a função afim é, na verdade, uma função constante.

Também podemos determinar o valor de $x$ para quando a função $f$ é nula, basta substituirmos $f(x)=0$ na Equação (4) para concluir que

\begin{equation} x = -\frac{c}{b} \text{.} \end{equation}

O resultado acima também é conhecido como zero da função afim.

Exemplo 3

Ao realizar um experimento controlado, um cientista verificou que a velocidade de uma bola era linear (afim) com relação a posição e anotou seus resultados na Tabela 3-1.

Tabela 3-1. Velocidade da bola do cientista como função afim da posição.
Velocidade (m/s) Posição (m)
5
0
10
1

Com esses dados podemos determinar a expressão que rege a velocidade $v$ da bola como função da posição $x$. Da Tabela 3-1, quando $x=0$ temos $v=5$, e quando $x=1$ temos $v=10$.

\begin{equation*} v(0) = 5 \\ v(1) = 10 \end{equation*}

Como já foi afirmado que a velocidade dessa bola é uma função afim, $v(x)=bx+c$. Para $x=0$, temos:

\begin{align*} v(0) &= b \cdot 0 + c \\ &= c \text{,} \end{align*}

ou seja, juntando as informações, $v(0)=c=5$. Ainda, para $x=1$, temos:

\begin{align*} v(1) &= b \cdot 1 + c \\ &= b + c\text{,} \end{align*}

ou seja, $v(1)=b+c=10$. Mas como já descobrimos que $c=5$, basta resolvermos a uma equação:

\begin{equation*} b+c=10 \\ b+5=10 \\ b=10-5 \\ b=5 \text{.} \end{equation*}

Então, como $v(x)=bx+c$,

\begin{equation*} v(x)=5x+10 \text{.} \end{equation*}

Observe que a função encontrada é crescente pois o coeficiente angular é positivo; então, quanto maior for o valor $x$ da posição, maior será a velocidade $v$ da bola do cientista.

Também podemos encontrar a posição onde a velocidade da bola foi igual a zero. Como fizemos na Equação (7),

\begin{equation*} 0=5x+10 \\ 5x=-10 \\ x=-\frac{10}{5} \\ x=-2 \text{.} \end{equation*}

Assim, em $x=-2$ a bola estava parada pois sua velocidade era nula.

* Também é comum denotar a função linear como função linear pura ou homogênea, e a função afim como função linear.

Funções quadráticas

Se $f(x)$ é uma função quadrática, ou de segundo grau, ela depende de no máximo potências quadradas de $x$. De maneira geral,

\begin{equation} f(x) = ax^2 + bx + c \text{,} \end{equation}

onde nomearei a constante $a$ como coeficiente parabólico.

Quando o coeficiente parabólico é nulo, $a=0$, a função quadrática se reduz a uma função afim:

\begin{align} \begin{split} f(x) &= 0 \cdot x^2 + bx + c \\ &= bx+c \text{.} \end{split} \end{align}

Funções quadráticas possuem ou um máximo ou um mínimo. O valor desse máximo ou mínimo de $f(x)$ ocorre para um determinado valor de $x$ dado por

\begin{equation} x = -\frac{b}{2a} \text{.} \end{equation}

Ainda, nas funções quadráticas podemos destacar três comportamentos interessantes que dependem do coeficiente parabólico:

  • se o coeficiente parabólico for positivo, $a>0$, a função quadrática terá um valor mínimo, $f$ nunca será menor que esse valor mínimo;
  • se o coeficiente parabólico for negativo, $a<0$, a função quadrática terá um valor máximo, $f$ nunca será maior que esse valor máximo;
  • se o coeficiente parabólico for nulo, $a=0$, a função quadrática é, na verdade, uma função afim (como já vimos).

Também podemos determinar os zeros de uma função quadrática. Há dois valores de $x$ para quando $f(x)=0$:

\begin{equation} x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \text{,} \end{equation}

onde o sinal positivo indica um dos valores e o negativo o outro.

Exemplo 4

Após jogar uma pedra para cima, um engenheiro concluiu que a altura $y$ dela, a partir do chão, era dependente do instante de tempo $t$. Mais que isso, ele percebeu que a altura dela era dada pela função

\begin{equation*} y(t) = 1 + 2t -5t^2 \text{.} \end{equation*}

Bom, para podermos melhor comparar $y(t)$ com a Equação (8), vou rearranjar os termos:

\begin{equation*} y(t) = -5t^2 + 2t + 1 \text{.} \end{equation*}

Agora ficou melhor. A função acima é quadrática de coeficiente linear $c=1$, coeficiente angular $b=2$ e coeficiente parabólico $a=-5$.

Note que o coeficiente parabólico é negativo, $a<0$, isso significa que a função tem um valor máximo. Se a função $y$ representa a altura da pedra, esse valor máximo é a altura máxima que a pedra atingiu.

Vamos calcular, através da Equação (10), o instante $t=t_\text{A}$ em que a pedra atingiu a altura máxima:

\begin{align*} t_\text{A} &= -\frac{b}{2a} \\ &= -\frac{2}{2 \cdot (-5)} \\ &= -\frac{2}{-10} \\ &= \frac{2}{10} \\ &= 0,2 \, \text{.} \end{align*}

Então, no instante $t_\text{A}=0,2$ a pedra chegou na altura máxima. A altura máxima pode ser calculada se substituirmos $t=t_\text{A}$ na função $y(t)$:

\begin{align*} y(t_\text{A}) &= y(0,2) \\ &= -5 \cdot (0,2)^2 + 2 \cdot 0,2 + 1 \\ &= -5 \cdot 0,04 + 0,4 + 1 \\ &= -0,2 + 0,4 + 1 \\ &= 1,2 \, \text{.} \end{align*}

Interessante, não é mesmo? Se $t_\text{A}$ é o instante em que a pedra atingiu a altura máxima, $y(t_\text{A})$ é a própria altura máxima, como ilustrado na Figura 4-1.

Figura 4-1. Ilustração da pedra jogada pelo engenheiro. No instante $t=0$ ele jogou a pedra, em $t=t_\text{A}$ a pedra atingiu a altura máxima e em $t=t_\text{B}$ a pedra encostou no chão.

Para finalizar, se $y(t)$ é a altura da pedra desde o chão, quando essa função for nula é porque a pedra tocou o chão. Através da Equação (11) podemos encontrar o instante de tempo $t=t_\textrm{B}$ em que isso aconteceu:

\begin{align*} t_\textrm{B} &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ &= \frac{-2 \pm \sqrt{2^2-4 \cdot(-5) \cdot 1}}{2 \cdot (-5)} \\ &= \frac{-2 \pm \sqrt{24}}{-10} \\ &\approx \frac{-2 \pm 4,9}{-10} \end{align*}

Ou seja, $t_\textrm{B}$ pode assumir dois valores:

\begin{align*} t_{\textrm{B}1} &\approx \frac{-2 + 4,9}{-10} \\ &\approx -0,29 \end{align*}

e

\begin{align*} t_{\textrm{B}2} &\approx \frac{-2 - 4,9}{-10} \\ &\approx 0,69 \, \text{.} \end{align*}

Neste ponto, você deve concordar comigo que valores negativos para o tempo não faz muito sentido. Então, o instante de tempo em que a pedra atinge o chão é $t_\text{B}=t_{\textrm{B}2}=0,69$.

Palavras finais

Eu sei, é um baita de um resumo entediante, cansativo e sem muita aplicação aparente. Mas fique tranquilo(a), faça o melhor que você puder e faça no seu tempo.

Spoiler: no decorrer dos próximos resumos você possivelmente verá mais ilustrações e aplicações. 😉



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