Expressões algébricas (resumo nível médio)

Fonte: imagem criada no Canva.

Uma expressão algébrica é uma expressão matemática conhecida por também envolver, além de números e operadores, outros símbolos, como letras.

Neste resumo, revisaremos as regras que determinam, numa expressão algébrica, quais das operações devem ser calculadas primeiro. Para isso, será assumido que o leitor já tenha profundo conhecimento acerca das operações fundamentais (adição, subtração, multiplicação e divisão), dos seus respectivos operadores e símbolos (mais, menos, vezes e dividir) e das suas propriedades (distribuição, associação e comutação).

Parênteses

Devemos dar prioridade aos parênteses, cujo par é representado por $\,( \ )\,$. Via de regra, devemos iniciar nossas contas dentro do par de parênteses mais interno.

Exemplo 1

Como um primeiro exemplo, vamos encontrar o resultado da expressão $ a + (2 \times (2 - 1))$:

\begin{equation*} \begin{aligned} a + (2 \times (2 - 1)) &= a + (2 \times (1)) \\ &= a + (2 \times 1) \\ &= a + (2) \\ &= a + 2 \pt \end{aligned} \end{equation*}

Se houver dois ou mais pares de parênteses no mesmo nível, qualquer um poderá ser resolvido primeiro.

Exemplo 2

Vamos calcular $(4+1) \times y \times (2+1)$ começando pelo primeiro par de parênteses:

\begin{equation*} \begin{aligned} (4+1) \times y \times (2+1) &= 5 \times y \times (2+1) \\ &= 5 \times y \times 3 \\ &= 5 \times 3 \times y \\ &= 15 \times y \pt \end{aligned} \end{equation*}

Note que, se começarmos pelo segundo par de parênteses, chegaremos ao mesmo resultado:

\begin{equation*} \begin{aligned} (4+1) \times y \times (2+1) &= (4+1) \times y \times 3 \\ &= 5 \times y \times 3 \\ &= 5 \times 3 \times y \\ &= 15 \times y \pt \end{aligned} \end{equation*}

Os pares de parênteses mais externos podem ser trocados por chaves, $\, \{ \ \} \,$, e os intermediários por colchetes, $\, [ \ ] \, $.

Exemplo 3

Vamos calcular a expressão $3+\{x - [2 \times (8 + 1)]\}$:

\begin{equation*} \begin{aligned} 3+\{x - [2 \times (8 + 1)]\} &= 3+\{x - [2 \times (9)]\} \\ &= 3+[x - (2 \times 9)] \\ &= 3+[x - (18)] \\ &= 3 + (x - 18) \\ &= 3 + x - 18 \\ &= x + 3 - 18 \\ &= x - 15 \pt \end{aligned} \end{equation*}

Dessa forma, como feito no Exemplo 3, seja com parênteses, colchetes ou chaves, a ordem é a mesma: sempre partir do par mais interno.

Multiplicação e divisão

Depois dos parênteses, devemos dar prioridade às operações de multiplicação e divisão. Podemos começar por qualquer uma das duas.

Exemplo 4

Neste exemplo, vamos calcular $2 \times {4 \div 2} - b-b$:

\begin{equation*} \begin{aligned} 2 \times {4\div2} - b - b &= 2 \times 2 - b - b \\ &= 4 - 2 \times b \pt \end{aligned} \end{equation*}

A conta abaixo leva ao mesmo resultado:

\begin{equation*} \begin{aligned} 2 \times {4 \div 2} - b - b &= 8 \div 2 - b - b \\ &= 4 - 2 \times b \pt \end{aligned} \end{equation*}

Devemos recordar, também, que há outros símbolos que podem denotar o operador da divisão, como o dois pontos, $\,:\,$, e a barra, $\,/\,$.

Já se tratando da multiplicação, o operador pode também ser denotado como um ponto central, $\, \cdot \,$. Ainda, quando a multiplicação se dá entre um número e uma letra, ou um número e um parênteses, nenhum símbolo precisa ser utilizado, basta colocarmos o número à frente da letra, ou o número à frente do parênteses.

Exemplo 5

Vamos calcular a expressão $b \times (-4) \div 2 + (a+d)\times 3$ utilizando diferentes símbolos para os operadores matemáticos:

\begin{equation*} \begin{aligned} b \times (-4) \div 2 + (a+d)\times 3 &= b \cdot (-4) / 2 + (a+d) \cdot 3 \\ &= b \cdot (-2) + 3(a+d) \\ &= -2b + 3(a+d) \pt \end{aligned} \end{equation*}

Adição e subtração

Por fim, as últimas operações a serem realizadas são as de adição e subtração. Podemos começar por qualquer uma delas.

Exemplo 6

Observe, a seguir, uma maneira de encontrar o resultado de $4 \div 2+3 + (a+b+a) \times 2$:

\begin{equation*} \begin{aligned} 4 \div 2+3 + (a+b+a) \times 2 &= 4 / 2+3 + (a+b+a) \cdot 2 \\ &= 4 / 2+3 + (2a+b) \cdot 2 \\ &= 4 / 2+3 + 2a \cdot 2 + b\cdot 2 \\ &= 2+3 + 4a + 2b \\ &= 5 + 4a + 2b \pt \end{aligned} \end{equation*}

Regra de sinais

Quando dois ou mais sinais estiverem competindo, podemos, dois a dois, transformá-los em um único sinal, seguindo as regras de sinais elencadas na Tabela 1.

Tabela 1. Regra de sinais.

Sinais	Resultado
$++$	$+$
$--$	$+$
$+-$	$-$
$-+$	$-$

Dois sinais iguais resultam em sinal positivo, $\, + \, $; dois sinais diferentes resultam em sinal negativo, $\, - \,$.

Exemplo 7

Abaixo, calcularemos $-3 \times (3-5) + 4 \times(-x)$ para mostrar como podemos trabalhar com os sinais.

\begin{equation*} \begin{aligned} -3 \times (3-5) + 4 \times(-x) &= -3 \cdot (3-5) + 4 \cdot(-x) \\ &= -3 \cdot (-2) + 4 \cdot(-x) \\ &= +6 + 4 \cdot(-x) \\ &= 6-4x \end{aligned} \end{equation*}

Problema resolvido

Vamos calcular a expressão abaixo.

$$ [(3 + 4)+10b \div 2 - 2 \times 1]\times (a+a) $$

Começaremos calculando o par de parênteses mais interno:

$$ (7 + 10b /2 - 2 \cdot 1) \cdot (a+a) \pt $$

Podemos prosseguir para qualquer par de parênteses restante. Vamos partir para o da direita:

$$ (7 + 10b / 2 - 2 \cdot 1) \cdot 2a \pt $$

Agora, trabalharemos dentro do par da esquerda. Devemos dar prioridade às multiplicações e divisões:

$$ (7 + 5/b - 2) \cdot 2a \pt$$

E então:

$$ (5 + 5/b) \cdot 2a \pt $$

E, por fim, a última operação:

$$ 10a + 10a/b \pt $$

Palavras finais

Em algum momento, pode ser que você se depare com alguma expressão mal escrita, $3 \div 4 \times 2 $ por exemplo, e isto fará com que fique em dúvida: é para se calcular $(3 \div 4) \times 2 $ ou $3 \div (4 \times 2) $? Nesse caso, sempre resolva a expressão no sentido ocidental de leitura (da esquerda para a direita), isto é, $(3 \div 4) \times 2 $.

Para assimilar os conceitos, resolva os exercícios sobre expressões algébricas. Bons estudos.

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