Uma expressão algébrica é uma expressão matemática conhecida por também envolver, além de números e operadores, outros símbolos, como letras.
Este resumo é, na verdade, um aquecimento para os próximos resumos de nível médio. Nele, revisaremos as regras que determinam, numa expressão algébrica, quais das operações devem ser calculadas primeiro. Ainda, no final, aproveitaremos para introduzir o conceito de módulo.
Para isso, neste e nos demais resumos de nível médio, a não ser que seja dito o contrário, estaremos sempre lidando com o conjunto dos números reais. Assim, assumiremos que o leitor já tenha profundo conhecimento acerca das operações fundamentais com números reais (adição, subtração, multiplicação e divisão), dos seus respectivos operadores e símbolos (mais, menos, vezes e dividir) e das suas propriedades (distribuição, associação e comutação).
Parênteses
Em qualquer expressão algébrica, devemos dar prioridade aos parênteses, cujo par é representado por
Como um primeiro exemplo,
vamos encontrar o resultado da expressão
Se houver dois ou mais pares de parênteses no mesmo nível, qualquer um poderá ser resolvido primeiro.
Vamos calcular
Note que, se começarmos pelo segundo par de parênteses, chegaremos ao mesmo resultado:
\begin{equation*} \begin{aligned} (4+1) \times y \times (2+1) &= (4+1) \times y \times 3 \\ &= 5 \times y \times 3 \\ &= 5 \times 3 \times y \\ &= 15 \times y \pt \end{aligned} \end{equation*}
Os pares de parênteses mais externos podem ser trocados por
chaves,
Vamos calcular a expressão
Dessa forma, como feito no Exemplo 3, seja com parênteses, colchetes ou chaves, a ordem é a mesma: sempre partir do par mais interno.
Multiplicação e divisão
Depois dos parênteses, devemos dar prioridade às operações de multiplicação e divisão. Podemos começar por qualquer uma das duas.
Neste exemplo, vamos calcular
A conta abaixo leva ao mesmo resultado:
\begin{equation*} \begin{aligned} 2 \times {4 \div 2} - b - b &= 8 \div 2 - b - b \\ &= 4 - 2 \times b \pt \end{aligned} \end{equation*}
Devemos recordar, também, que há outros símbolos que podem denotar o operador da divisão,
como o dois pontos,
Já se tratando da multiplicação, o operador pode também ser denotado como um ponto central,
Vamos calcular a expressão $b \times (-4) \div 2 + (a+d)\times 3$ utilizando diferentes símbolos para os operadores matemáticos:
\begin{equation*} \begin{aligned} b \times (-4) \div 2 + (a+d)\times 3 &= b \cdot (-4) / 2 + (a+d) \cdot 3 \\ &= b (-2) + 3(a+d) \\ &= -2b + 3a+3d \pt \end{aligned} \end{equation*}Adição e subtração
Por fim, as últimas operações a serem realizadas são as de adição e subtração. Podemos começar por qualquer uma delas.
Observe, a seguir, uma maneira de encontrar o resultado de
Regra de sinais
Quando dois ou mais sinais estiverem competindo, podemos, dois a dois, transformá-los em um único sinal, seguindo as regras de sinais elencadas na Tabela 1.
| Sinais | Resultado |
|---|---|
Dois sinais iguais resultam em sinal positivo,
Abaixo, calcularemos $-3 \times (3-5) + 4 \times(-x)$ para mostrar como podemos trabalhar com os sinais.
\begin{equation*} \begin{aligned} -3 \times (3-5) + 4 \times(-x) &= -3 \cdot (3-5) + 4 \cdot(-x) \\ &= -3 \cdot (-2) + 4 \cdot(-x) \\ &= +6 + 4 \cdot(-x) \\ &= 6-4x \end{aligned} \end{equation*}O módulo
O módulo,
representado por um par de barras verticais,
Se um número for positivo, seu módulo é ele próprio; se for negativo, deve-se remover o sinal de menos. Portanto, o módulo sempre resulta num valor positivo.
O módulo do número $13$ é
\begin{equation*} \lvert{13}\rvert = 13 \end{equation*}e o módulo do número $-13$ é
\begin{equation*} \lvert{-13}\rvert = 13 \pt \end{equation*}Uma propriedade interessante acerca desse operador é que o módulo de um produto é o produto dos módulos e o módulo de uma divisão é a divisão dos módulos. O mesmo não ocorre em operações de adição e subtração.
Sejam dois números, $a$ e
O módulo do produto de $a$ com $b$ é
Assim, se $a=-6$ e
e também que
\begin{equation*} \begin{aligned} \abs{a / b} &= \abs{a} / \abs{b} \\ \abs{-6 / 3} &= \abs{-6} / \abs{3} \\ \abs{-2} &= 6 / 3 \\ 2 &= 2 \pt \end{aligned} \end{equation*}Contudo,
\begin{equation*} \begin{aligned} \abs{a+b} &= \abs{-6+3} \\ &= \abs{-3} \\ &= 3 \end{aligned} \end{equation*}é diferente de
\begin{equation*} \begin{aligned} \abs{a}+\abs{b} &= \abs{-6}+\abs{3} \\ &= 6+3 \\ &= 9 \pt \end{aligned} \end{equation*}Quando o módulo está presente em uma expressão matemática, o par de barras verticais deve ser visto como se fosse um par de parênteses. Nesse sentido, ao operar expressões, deve-se dar, aos módulos, a mesma prioridade dada aos parênteses.
Abaixo, calcularemos $2 \times \abs{2-7} \times x \times 2 $.
\begin{equation*} \begin{aligned} 2 \times \abs{2-7} \times x \times 2 &= 2 \cdot \abs{-5} \cdot x \cdot 2 \\ &= 2 \abs{-5} x \cdot 2 \\ &= 2 \cdot 5 x \cdot 2 \\ &= 10 x \cdot 2 \\ &= 10 \cdot 2 x \\ &= 20 x \end{aligned} \end{equation*}Problema resolvido
Vamos calcular a expressão abaixo.
$$ [(3 + \abs{3-7} )+10b \div 2 - 2 \times 1]\times (a+a) $$Começaremos calculando o módulo, já que ele deve ser visto como sendo o par de parênteses mais interno:
$$ [(3 + \abs{-4} )+10b / 2 - 2 \cdot 1] (a+a) \vg $$ou seja,
$$ [(3 + 4 )+10b / 2 - 2 \cdot 1](a+a) \pt $$Agora, podemos partir para o próximo par de parênteses mais interno:
$$ (7 + 10b /2 - 2 \cdot 1) (a+a) \pt $$Podemos prosseguir para qualquer par de parênteses restante. Vamos partir para o da direita:
$$ (7 + 10b / 2 - 2 \cdot 1) 2a \pt $$Agora, trabalharemos dentro do par da esquerda. Devemos dar prioridade às multiplicações e divisões:
$$ (7 + 5/b - 2) 2a \pt$$E então:
$$ (5 + 5/b) 2a \pt $$E, por fim, a última operação:
$$ 10a + 10a/b \pt $$Palavras finais
Em algum momento, podemos nos deparar com alguma expressão mal escrita,
Por fim, para aquecer a ponta do lápis, e assimilar esses conceitos, resolva os exercícios sobre expressões algébricas. Bons estudos.
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