Porcentagem - Resumo Nível Médio

Por vezes a porcentagem (ou percentagem) aparece em problemas físicos e cotidianos. Ela é, por definição, a razão de um número para cem, assim, como o nome já sugere, é a divisão de uma quantidade por cem.

Trinta por cento, por exemplo, pode ser escrito como

\begin{align*} 30\% &= 30:100 \\ &= \frac{30}{100} \\ &= 0,3 \, \text{,} \end{align*}

assim, 30% equivale ao valor decimal 0,3.

Por definição da razão, 0% significa nada, 1% é o mesmo que 1 em cada 100, 50% corresponde a 50 em cada 100 (metade), 100% equivale a 100 em cada 100 (tudo).

Mas a porcentagem não deve existir sozinha, ela deve estar atrelada a algo: metade de quê? 50% de quê?

Resultado da porcentagem de um valor

Quando desejamos obter o resultado da porcentagem de um valor, por exemplo, obter 10% de 30, basta multiplicarmos a porcentagem pelo valor. Em outras palavras, porcentagem de um valor é o mesmo que porcentagem vezes esse valor.

Exemplo 1

Vamos verificar que 10% de 30 é 3.

$ 10\% \ \text{de} \ 30 $: \begin{align*} 10\% \cdot 30 &= \frac{10}{100} \cdot 30 \\ &= \frac{300}{100} \\ &= 3 \text{.} \end{align*}

Exemplo 2

Vamos verificar que 15% de 120 é 18.

$ 15\% \ \text{de} \ 120 $: \begin{align*} 15\% \cdot 120 &= \frac{15}{100} \cdot 120 \\ &= \frac{1800}{100} \\ &= 18 \text{.} \end{align*}

Exemplo 3

E quanto é 20% de 70%?

Para calcular a porcentagem de uma porcentagem, basta mantermos um dos valores no formato de porcentagem (%), observe:

$ 20\% \ \text{de} \ 70\% $: \begin{align*} 20\% \cdot 70\% &= \frac{20}{100} \cdot 70\% \\ &= \frac{1400}{100} \% \\ &= 14\% \text{.} \end{align*}

Ou, de forma alternativa, dividimos ambos os valores por 100 e formatamos o resultado final em porcentagem:

$ 20\% \ \text{de} \ 70\% $: \begin{align*} 20\% \cdot 70\% &= \frac{20}{100} \cdot \frac{70}{100} \\ &= \frac{1400}{10000} \\ &= 0,14 \\ &= \frac{14}{100} \\ &= 14\% \text{.} \end{align*}

Exemplo 4

Vamos calcular o valor de $(5\%)^2$.

\begin{align*} (5\%)^2 &= 5\% \cdot 5\% \\ &= \frac{5}{100} \cdot \frac{5}{100} \\ &= \frac{25}{10000} \\ &= 0,0025 \\ &= 0,25\% \text{,} \end{align*}

ou, alternativamente,

\begin{align*} (5\%)^2 &= 5\% \cdot 5\% \\ &= \frac{5}{100} \cdot 5\% \\ &= \frac{25}{100} \% \\ &= 0,25\% \text{.} \end{align*}

Exemplo 5

Um produto que custava R\$370,00 teve seu valor aumentado em 10%. Qual seu valor após o aumento?

Para isto, vejamos qual foi o aumento em reais, eu seja, precisamos calcular 10% de R\$370,00.

$ 10\% \ \text{de} \ 370 $: \begin{align*} 10\% \cdot 370 &= \frac{10}{100} \cdot 370 \\ &= 37 \text{.} \end{align*}

Então, R\$37,00 foi o valor do aumento. O valor final do produto após o aumento é de R\$370,00 + R\$37,00 = R\$407,00.

Exemplo 6

Uma televisão de R\$2.000,00 foi anunciada com 15% de desconto. Qual seu valor no anúncio?

Primeiramente, vamos calcular o valor do desconto em reais, ou seja, 15% de R\$2.000,00.

$ 15\% \ \text{de} \ 2000 $: \begin{align*} 15\% \cdot 2000 &= \frac{15}{100} \cdot 2000 \\ &= 300 \text{.} \end{align*}

Portanto, o desconto foi de R\$300,00 e o valor anunciado da televisão foi de R\$2.000,00 - R\$300,00 = R\$1.700,00.

Exemplo 7

Numa empresa com 500 servidores, apenas 22% é do sexo feminino. Qual a quantidade de servidores do sexo feminino que trabalham nessa empresa?

$ 22\% \ \text{de} \ 500 $: \begin{align*} 22\% \cdot 500 &= \frac{22}{100} \cdot 500 \\ &= 110 \text{.} \end{align*}

Portanto, 110 dos 500 servidores são do sexo feminino.

Porcentagem de parte de um todo

Obtém-se a porcentagem de um total dividindo-se o valor da parte pelo valor total. Por exemplo, se uma pessoa comeu 2 pedaços de uma pizza de 8 pedaços, ela comeu a fração 2/8 = 0,25 = 25% da pizza.

Exemplo 8

Um carro consome 12 litros de combustível para fazer uma viagem. Sabendo-se que o tanque possuía 40 litros, qual a porcentagem de combustível consumido?

Parte: 12 litros.
Total: 40 litros.

\begin{align*} \frac{12}{40} &= 0,3 \\ &= \frac{30}{100} \\ &= 30\% \end{align*}

Portanto, o carro consumiu 30% do combustível de seu tanque.

Exemplo 9

Em uma sala de aula, 16 alunas são do sexo feminino e 13 do sexo masculino. Qual a porcentagem de alunos do sexo masculino?

Parte: 13 alunos.
Total: 16 + 13 = 29 alunos.

\begin{align*} \frac{13}{29} &\approx 0,45 \\ &\approx \frac{45}{100} \\ &\approx 45\% \end{align*}

Portanto, a porcentagem de alunos do sexo masculino é aproximadamente 45%.

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