Porcentagem (resumo nível médio)

Por vezes a porcentagem (ou percentagem) aparece em problemas físicos e cotidianos, então, nada mais justo que estudar e dominar esse assunto.

Definição

Porcentagem é, por definição, a razão1 de um número para cem, assim, como o nome já sugere, é a divisão de uma quantidade por cem. Cinquenta por cento, por exemplo, pode ser escrito como

\begin{align*} 50\% &= 50:100 \\ &= \frac{50}{100} \\ &= 0{,}5 \, \textrm{,} \end{align*}

assim, $50\%$ equivale ao valor decimal $0{,}5$. Para restaurar o formato de porcentagem, basta multiplicarmos por $100\%$:

\begin{align*} 0{,}5 &= 0{,}5 \cdot 100 \% \\ &= 50\% \, \textrm{.} \end{align*}

Por definição da razão, $0\%$ significa $0$ em cada $100$ (ou seja, nada), $1\%$ é o mesmo que $1$ em cada $100$, $50\%$ corresponde a $50$ em cada $100$ (ou seja, metade) e $100\%$ equivale a $100$ em cada $100$ (ou seja, tudo).

Mas a porcentagem não deve existir sozinha, ela deve estar atrelada a algo: metade de quê? $50\%$ de quê?

Resultado da porcentagem de um valor

Quando desejamos obter o resultado da porcentagem de um valor, por exemplo, obter $10\%$ de $30$, basta multiplicarmos a porcentagem pelo valor. Em outras palavras, porcentagem de um valor é o mesmo que porcentagem vezes esse valor.

Exemplo 1

Vamos verificar que $10\%$ de $30$ é $3$:

\begin{align*} 10\% \cdot 30 &= \frac{10}{100} \cdot 30 \\ &= \frac{300}{100} \\ &= 3 \, \textrm{.} \end{align*}
Exemplo 2

Vamos verificar que $15\%$ de $120$ é $18$:

\begin{align*} 15\% \cdot 120 &= \frac{15}{100} \cdot 120 \\ &= \frac{1{.}800}{100} \\ &= 18 \, \textrm{.} \end{align*}
Exemplo 3

Quanto é $20\%$ de $70\%$?

Para calcular a porcentagem de uma porcentagem, basta mantermos um dos valores no formato de porcentagem, observe:

\begin{align*} 20\% \cdot 70\% &= \frac{20}{100} \cdot 70\% \\ &= \frac{1{.}400}{100} \% \\ &= 14\% \, \textrm{.} \end{align*}

De forma alternativa, dividimos ambos os valores por $100$ e formatamos o resultado final em porcentagem:

\begin{align*} 20\% \cdot 70\% &= \frac{20}{100} \cdot \frac{70}{100} \\ &= \frac{1{.}400}{10{.}000} \\ &= 0{,}14 \\ &= \frac{14}{100} \\ &= 14\% \, \textrm{.} \end{align*}
Exemplo 4

Vamos calcular o valor de $(5\%)^2$:

\begin{align*} (5\%)^2 &= 5\% \cdot 5\% \\ &= \frac{5}{100} \cdot \frac{5}{100} \\ &= \frac{25}{10{.}000} \\ &= 0{,}0025 \\ &= 0{,}25\% \, \textrm{,} \end{align*}

ou, alternativamente,

\begin{align*} (5\%)^2 &= 5\% \cdot 5\% \\ &= \frac{5}{100} \cdot 5\% \\ &= \frac{25}{100} \% \\ &= 0{,}25\% \, \textrm{.} \end{align*}
Exemplo 5

Um produto que custava $370$ reais teve seu valor aumentado em $10\%$. Qual seu valor após o aumento?

Para isto, vejamos qual foi o aumento em reais, ou seja, precisamos calcular $10\%$ de $370$ reais:

\begin{align*} 10\% \cdot 370 &= \frac{10}{100} \cdot 370 \\ &= 37 \, \textrm{.} \end{align*}

Então, $37$ reais foi o valor do aumento. O valor final do produto após o aumento é de $370$ $+$ $37$ $=$ $407$ reais.

Exemplo 6

Uma televisão de $\textrm{R}\$ \ 2$ mil foi anunciada com $15\%$ de desconto. Qual seu valor no anúncio?

Primeiramente, vamos calcular o valor do desconto em reais, ou seja, $15\%$ de $\textrm{R}\$ \ 2$ mil:

\begin{align*} 15\% \cdot 2{.}000 &= \frac{15}{100} \cdot 2{.}000 \\ &= 300 \, \textrm{.} \end{align*}

Portanto, o desconto foi de $300$ reais. Então, o valor anunciado da televisão foi de $\textrm{R}\$ \ 2{.}000{,}00$ $-$ $\textrm{R}\$ \ 300{,}00$ $=$ $\textrm{R}\$ \ 1{.}700{,}00$.

Exemplo 7

Numa empresa com $500$ servidores, apenas $22\%$ é do sexo feminino. Qual a quantidade de servidores do sexo feminino que trabalham nessa empresa?

\begin{align*} 22\% \cdot 500 &= \frac{22}{100} \cdot 500 \\ &= 110 \end{align*}

Portanto, $110$ dos $500$ servidores são do sexo feminino.

Porcentagem de parte de um todo

Obtém-se a porcentagem de um total dividindo-se o valor da parte pelo valor total. Por exemplo, se uma pessoa comeu um pedaço de uma pizza de oito pedaços, ela comeu a fração $1/8$ $=$ $0{,}125$ $=$ $0{,}125 \cdot 100\%$ $=$ $12{,}5\%$ da pizza.

Exemplo 8

Um carro consome doze litros de combustível para fazer uma viagem. Sabendo-se que o tanque possuía quarenta litros, qual a porcentagem de combustível consumido?

Parte: $12$ litros.
Total: $40$ litros.

\begin{align*} \frac{12}{40} &= 0{,}3 \\ &= \frac{30}{100} \\ &= 30\% \end{align*}

Portanto, o carro consumiu $30\%$ do combustível de seu tanque.

Exemplo 9

Em uma sala de aula, dezesseis alunas são do sexo feminino e treze do sexo masculino. Qual a porcentagem de alunos do sexo masculino?

Parte: $13$ alunos.
Total: $16 + 13$ $=$ $29$ alunos.

\begin{align*} \frac{13}{29} &\approx 0{,}45 \\ &= \frac{45}{100} \\ &= 45\% \end{align*}

Portanto, a porcentagem de alunos do sexo masculino é aproximadamente $45\%$.

Palavras finais

Porcentagem não só está presente na física como também em diversas outras áreas do saber e, principalmente, no dia a dia do ser humano. Aprender esse conteúdo é uma oportunidade de crescimento pessoal. Bons estudos, 🚀!

Notas

1 Nesta altura do campeonato, interprete razão como sendo uma fração ou uma divisão entre dois números.



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