Proporcionalidade (resumo nível médio)

Na física e na matemática é muito comum haver proporção entre duas coisas. Explicarei melhor, nesse resumo, o que isso significa e mostrarei exemplos de aplicações.

Definição

A proporcionalidade existirá sempre que duas variáveis estiverem relacionadas. Como exemplo, se essas variáveis estiverem representando as grandezas1 velocidade e tempo, podemos afirmar que o tempo de uma viagem de carro está relacionado com a velocidade do mesmo.

A princípio, podemos separar a proporcionalidade em dois tipos: a direta e a inversa; mas até o final deste resumo você verá que, além desses dois tipos, há outros tipos de proporção. Um fato é que, em qualquer um dos casos, utiliza-se o símbolo $\propto$ para evidenciá-la.

Proporção direta

A proporção direta ocorre sempre que as grandezas forem diretamente proporcionais: ao aumentar uma, a outra aumenta na mesma proporção; ao diminuir uma, a outra diminui na mesma proporção.

Exemplo 1

Quanto maior a velocidade do carro, maior a distância percorrida,

\begin{equation*} \uparrow \textrm{velocidade} \ \uparrow \textrm{deslocamento} \, \textrm{,} \end{equation*}

ou, quanto menor a velocidade do carro, menor a distância percorrida,

\begin{equation*} \downarrow \textrm{velocidade} \ \downarrow \textrm{deslocamento} \, \textrm{,} \end{equation*}

e, portanto, a velocidade do carro é diretamente proporcional ao deslocamento:

\begin{equation*} \textrm{velocidade} \ \propto \ \textrm{deslocamento} \, \textrm{.} \end{equation*}

No Exemplo 1 você pode observar que utilizei setas para cima ou para baixo para ajudar na identificação da proporcionalidade: setas de mesmo sentido indicam proporcionalidade direta.

Se $x$ e $y$ são diretamente proporcionais, há uma constante de proporcionalidade $k$ que os relacionam:

\begin{equation} \frac{y}{x} = k \, \textrm{,} \end{equation}

ou,

\begin{equation} y = kx \, \textrm{.} \end{equation}

Como você pode ter suspeitado, a proporcionalidade direta possui o comportamento de uma função linear de coeficiente angular igual a $k$.

Exemplo 2

Dada a seguinte relação entre $U$ e $d$,

\begin{equation*} U=9d \, \textrm{,} \end{equation*}

podemos dizer que $U$ é diretamente proporcional a $d$ com constante de proporcionalidade $k=9$.

Proporção inversa

A proporção inversa ocorre sempre que as grandezas forem inversamente proporcionais: ao aumentar uma, a outra diminui na mesma proporção; ao diminuir uma, a outra aumenta na mesma proporção.

Exemplo 3

Quanto maior a velocidade do carro, menor o tempo de viagem,

\begin{equation*} \uparrow \textrm{velocidade} \ \downarrow \textrm{tempo} \, \textrm{,} \end{equation*}

ou, quanto menor a velocidade do carro, maior o tempo de viagem,

\begin{equation*} \downarrow \textrm{velocidade} \ \uparrow \textrm{tempo} \, \textrm{,} \end{equation*}

e, portanto, a velocidade do carro é inversamente proporcional ao tempo de viagem:

\begin{equation*} \textrm{velocidade} \ \propto \ \frac{1}{\textrm{tempo}}\, \textrm{.} \end{equation*}

No Exemplo 3 utilizei setas opostas e o inverso do tempo para indicar proporcionalidade inversa — daí o nome proporção inversa.

Agora, se $x$ e $y$ são inversamente proporcionais, também há uma constante de proporcionalidade $k$ que os relacionam:

\begin{equation} yx = k \, \textrm{,} \end{equation}

ou,

\begin{equation} y = \frac{k}{x} \, \textrm{.} \end{equation}
Exemplo 4

Dada a seguinte relação entre $W$ e $r$,

\begin{equation*} W=\frac{7}{r} \, \textrm{,} \end{equation*}

podemos dizer que $W$ é inversamente proporcional a $r$ com constante de proporcionalidade $k=7$.

Outras proporções

De forma geral, quando o valor de $x$ depende do valor de $y$, podemos dizer que, de alguma forma, $x$ é proporcional a $y$, e essa proporção pode não ser direta ou inversa. Observe os exemplos a seguir.

Exemplo 5

Dada a seguinte relação entre $F$ e $x$,

\begin{equation*} F=3x^2 \, \textrm{,} \end{equation*}

podemos dizer que $F$ é proporcional ao quadrado de $x$, isto é,

\begin{equation*} F \propto x^2 \, \textrm{.} \end{equation*}
Exemplo 6

Dada a seguinte relação entre $x$ e $y$,

\begin{equation*} y=2x^5 \, \textrm{,} \end{equation*}

podemos dizer que $y$ é proporcional à quinta potência de $x$, isto é,

\begin{equation*} y \propto x^5 \, \textrm{.} \end{equation*}

Palavras finais

Com o tempo você perceberá a importância deste conteúdo. Sempre que houver a necessidade de estimar ou aproximar resultados de problemas físicos, a proporção poderá estar presente.

Notas

1 Na física, grandeza é tudo o que pode ser medido, mensurado.



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