Enem 2019 - Questão resolvida #04

(Enem 2019) O objetivo de recipientes isolantes térmicos é minimizar as trocas de calor com o ambiente externo. Essa troca de calor é proporcional à condutividade térmica $k$ e à área interna das faces do recipiente, bem como à diferença de temperatura entre o ambiente externo e o interior do recipiente, além de ser inversamente proporcional à espessura das faces.

A fim de avaliar a qualidade de dois recipientes A (40 cm × 40 cm × 40 cm) e B (60 cm × 40 cm × 40 cm), de faces de mesma espessura, uma estudante compara suas condutividades térmicas $k_\text{A}$ e $k_\text{B}$. Para isso suspende, dentro de cada recipiente, blocos idênticos de gelo a 0 °C, de modo que suas superfícies estejam em contato apenas com o ar. Após um intervalo de tempo, ela abre os recipientes enquanto ambos ainda contêm um pouco de gelo e verifica que a massa de gelo que se fundiu no recipiente B foi o dobro da que se fundiu no recipiente A. A razão $k_\text{A}/k_\text{B}$ é mais próxima de

a) 0,50. b) 0,67. c) 0,75. d) 1,33. e) 2,00.

A troca de calor com o ambiente pode ser aferida através do fluxo do calor, $\Phi$, que é a medida da variação da quantidade de calor $Q$ em um intervalo de tempo $\Delta t$:

\begin{equation} \Phi = \frac{Q}{\Delta t} = \frac{mL}{\Delta t} \ \text{,} \end{equation}

onde foi usado a fórmula do calor latente, $Q=mL$, devido à mudança de fase sólido para líquido.

Por outro lado, o enunciado ressalta que esse fluxo é proporcional à $k$, à área total interna das faces $A$, à diferença de temperatura externa e interna $\Delta T$, mas inversamente proporcional à espessura $e$ das paredes.

\begin{equation} \Phi = k \frac{A \, \Delta T }{e} \end{equation}

Vamos substituir a Equação (1) na (2):

\begin{equation} \frac{m L}{\Delta t} = k \frac{A \, \Delta T }{e} \text{,} \end{equation}

e isolar a constante $k$:

\begin{equation} k = \frac{m L e}{ \Delta t \, A \, \Delta T } \text{.} \end{equation}

Uma vez que o calor latente $L$, a espessura $e$, o intervalo $\Delta t$ de tempo decorrido e a diferença de temperatura $\Delta T$ são iguais para ambos os recipientes; temos, para o recipiente A,

\begin{equation} k_\text{A} = \frac{m_\text{A} L e}{ \Delta t \, A_\text{A} \, \Delta T } \text{,} \end{equation}

e para o recipiente B,

\begin{equation} k_\text{B} = \frac{m_\text{B} L e}{ \Delta t \, A_\text{B} \, \Delta T } \text{.} \end{equation}

Agora, dividindo a Equação (5) pela (6),

\begin{equation} \begin{split} \frac{k_\text{A}}{k_\text{B}} &= \left(\frac{m_\text{A} L e}{ \Delta t \, A_\text{A} \, \Delta T }\right) \Big/ \left(\frac{m_\text{B} L e}{ \Delta t \, A_\text{B} \, \Delta T }\right) \\ &= \frac{m_\text{A} L e}{\Delta t \, A_\text{A} \, \Delta T} \cdot \frac{\Delta t \, A_\text{B} \, \Delta T}{m_\text{B} L e} \\ &= \frac{m_\text{A}}{m_\text{B}} \frac{A_\text{B}}{A_\text{A}} \text{.} \end{split} \end{equation}

Vamos aos valores. O enunciado afirma que a massa derretida de B foi o dobro da de A.

\begin{equation} m_\text{B}=2m_\text{A} \end{equation}

O recipiente A é uma caixa quadrada, possui 6 faces, cada uma com 0,4 m × 0,4 m de área.

\begin{equation} \begin{split} A_\text{A} &= 6 \cdot (0,4 \cdot 0,4) \\ &= 0,96 \ \text{m²} \end{split} \end{equation}

Já o recipiente B é uma caixa retangular, possui 6 faces, 4 com 0,6 m × 0,4 m de área e 2 com 0,4 m × 0,4 m.

\begin{equation} \begin{split} A_\text{B} &= 4 \cdot 0,6 \cdot 0,4 + 2 \cdot 0,6 \cdot 0,4 \\ &= 1,28 \ \text{m²} \end{split} \end{equation}

Ufa. Finalmente, substituindo os dados (8), (9) e (10) no resultado obtido em (7):

\begin{equation} \begin{split} \frac{k_\text{A}}{k_\text{B}} &= \frac{m_\text{A}}{m_\text{B}} \frac{A_\text{B}}{A_\text{A}} \\ &= \frac{m_\text{A}}{2 m_\text{A}} \frac{1,28}{0,96} \\ &= \frac{1}{2} \frac{1,28}{0,96} \\ &= 0,666 \dots \end{split} \end{equation}

Resposta: b.

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