ENEM 2019 - Questão resolvida #04

(ENEM 2019) O objetivo de recipientes isolantes térmicos é minimizar as trocas de calor com o ambiente externo. Essa troca de calor é proporcional à condutividade térmica $k$ e à área interna das faces do recipiente, bem como à diferença de temperatura entre o ambiente externo e o interior do recipiente, além de ser inversamente proporcional à espessura das faces.

A fim de avaliar a qualidade de dois recipientes A $(40 \ \mathrm{cm} \times 40 \ \mathrm{cm} \times 40 \ \mathrm{cm})$ e B $(60 \ \mathrm{cm} \times 40 \ \mathrm{cm} \times 40 \ \mathrm{cm})$, de faces de mesma espessura, uma estudante compara suas condutividades térmicas $k_\text{A}$ e $k_\text{B}$. Para isso suspende, dentro de cada recipiente, blocos idênticos de gelo a $0 \ \gr\mathrm{C}$, de modo que suas superfícies estejam em contato apenas com o ar. Após um intervalo de tempo, ela abre os recipientes enquanto ambos ainda contêm um pouco de gelo e verifica que a massa de gelo que se fundiu no recipiente B foi o dobro da que se fundiu no recipiente A. A razão $k_\text{A}/k_\text{B}$ é mais próxima de

a) $0{,}50\pt$ b) $0{,}67\pt$ c) $0{,}75\pt$ d) $1{,}33\pt$ e) $2{,}00\pt$

A troca de calor com o ambiente pode ser aferida através do fluxo do calor, $\Phi$, que é a medida da variação da quantidade de calor $Q$ em um intervalo de tempo $\Delta t$:

\begin{equation} \Phi = \frac{Q}{\Delta t} = \frac{mL}{\Delta t} \vg \end{equation}

onde foi usado a fórmula do calor latente, $Q=mL$, devido à mudança de fase sólido para líquido.

Por outro lado, o enunciado ressalta que esse fluxo é proporcional à $k$, à área total interna das faces $A$, à diferença de temperatura externa e interna $\Delta T$, mas inversamente proporcional à espessura $e$ das paredes. Ou seja:

\begin{equation} \Phi = k \frac{A \, \Delta T }{e} \pt \end{equation}

Vamos substituir a Equação (1) na (2):

\begin{equation} \frac{m L}{\Delta t} = k \frac{A \, \Delta T }{e} \vg \end{equation}

e isolar a constante $k$:

\begin{equation} k = \frac{m L e}{ \Delta t \, A \, \Delta T } \pt \end{equation}

Uma vez que o calor latente $L$, a espessura $e$, o intervalo $\Delta t$ de tempo decorrido e a diferença de temperatura $\Delta T$ são iguais para ambos os recipientes; temos, para o recipiente A,

\begin{equation} k_\text{A} = \frac{m_\text{A} L e}{ \Delta t \, A_\text{A} \, \Delta T } \vg \end{equation}

e para o recipiente B,

\begin{equation} k_\text{B} = \frac{m_\text{B} L e}{ \Delta t \, A_\text{B} \, \Delta T } \pt \end{equation}

Agora, dividindo a Equação (5) pela (6),

\begin{equation} \begin{split} \frac{k_\text{A}}{k_\text{B}} &= \left(\frac{m_\text{A} L e}{ \Delta t \, A_\text{A} \, \Delta T }\right) \Big/ \left(\frac{m_\text{B} L e}{ \Delta t \, A_\text{B} \, \Delta T }\right) \\ &= \frac{m_\text{A} L e}{\Delta t \, A_\text{A} \, \Delta T} \cdot \frac{\Delta t \, A_\text{B} \, \Delta T}{m_\text{B} L e} \\ &= \frac{m_\text{A}}{m_\text{B}} \frac{A_\text{B}}{A_\text{A}} \text{.} \end{split} \end{equation}

Ainda, o enunciado afirma que a massa derretida de B foi o dobro da de A:

\begin{equation} m_\text{B}=2m_\text{A} \pt \end{equation}

O enunciado também informa que o recipiente A é uma caixa quadrada, isto é, possui seis faces, cada uma com $0{,}4 \ \mathrm{m} \times 0{,}4 \ \mathrm{m}$ de área. Então:

\begin{equation} \begin{split} A_\text{A} &= 6 \cdot (0{,}4 \cdot 0{,}4) \\ &= 0{,}96 \ \mathrm{m}^2 \pt \end{split} \end{equation}

Já o recipiente B é uma caixa retangular, isto é, possui seis faces, $4$ delas com $0{,}6 \ \mathrm{m} \times 0{,}4 \ \mathrm{m}$ de área e $2$ delas com $0{,}4 \ \mathrm{m} \times 0{,}4 \ \mathrm{m}$. Portanto:

\begin{equation} \begin{split} A_\text{B} &= 4 \cdot (0{,}6 \cdot 0{,}4) + 2 \cdot (0{,}6 \cdot 0{,}4) \\ &= 1{,}28 \ \mathrm{m}^2 \pt \end{split} \end{equation}

Ufa. Finalmente, substituindo os resultados das Equações (8) a (10) no resultado da Equação (7):

\begin{equation} \begin{split} \frac{k_\text{A}}{k_\text{B}} &= \frac{m_\text{A}}{m_\text{B}} \frac{A_\text{B}}{A_\text{A}} \\ &= \frac{m_\text{A}}{2 m_\text{A}} \frac{1{,}28}{0{,}96} \\ &= \frac{1}{2} \frac{1{,}28}{0{,}96} \\ &= 0{,}666 \dots \pt \end{split} \end{equation}

Resposta: b.

---

Próxima questão >

☰ Índice de questões

< Questão anterior

---