Enem 2021 - Questão resolvida #02

(Enem 2021) A figura foi extraída de um antigo jogo para computadores, chamado Bang! Bang!

No jogo, dois competidores controlam os canhões A e B, disparando balas alternadamente com o objetivo de atingir o canhão do adversário; para isso, atribuem valores estimados para o módulo da velocidade inicial de disparo ($|\vec{v_0}|$) e para o ângulo de disparo ($\theta$).

Em determinado momento de uma partida, o competidor B deve disparar; ele sabe que a bala disparada anteriormente, $\theta = 53°$, passou tangenciando o ponto $\text{P}$.

No jogo, $\vec{g}$ é igual a $10 \ \text{m/s}^2$. Considere $\sin{53°} = 0,8$, $\cos{53°} = 0,6$, e desprezível a ação de forças dissipativas.

Disponível em: http://mebdownloads.butzke.net.br.
Acesso em: 18 abr. 2015 (adaptado).

Com base nas distâncias dadas e mantendo o último ângulo de disparo, qual deveria ser, aproximadamente, o menor valor de $|\vec{v_0}|$ que permitiria ao disparo efetuado pelo canhão B atingir o canhão A?

a) $30 \ \text{m/s}$. b) $35 \ \text{m/s}$. c) $40 \ \text{m/s}$. d) $45 \ \text{m/s}$. e) $50 \ \text{m/s}$.

Vamos considerar o lançamento de um projétil em B, a um ângulo $\theta$ com a horizontal, com módulo da velocidade inicial $v_0$ — isto é, módulos das velocidades iniciais $v_{0x}$ na horizontal e $v_{0y}$ na vertical — como representado na Figura 1.

Figura 1. Lançamento oblíquo. O projétil parte de B, no ponto $(x_\text{B},y_\text{B})$, a um ângulo $\theta$ com a horizontal e velocidades iniciais $v_{0x} = v_0 \cos{\theta}$ e $v_{0y} = v_0 \sin{\theta}$, passa por cima do morro e atinge A no ponto $(x_\text{A},y_\text{A})$.

No eixo vertical, se a altura onde o projétil atinge A for $y_\text{A}$, a expressão que rege o deslocamento em $y$, com relação ao tempo $t$, devido à aceleração $\vec{g}$ da gravidade, é a do movimento uniformemente variado:

\begin{equation} y_\text{A} = y_0 + v_{0y}t - \frac{gt^2}{2} \text{,} \end{equation}

com $y_0=y_\text{B}=0$, pois é a altura do projétil em B, e, das relações trigonométricas, com $v_{0y} = v_0 \sin{\theta}$. Então:

\begin{equation} y_\text{A} = v_{0} \sin{\theta} \, t - \frac{gt^2}{2} \text{.} \end{equation}

Por outro lado, no eixo horizontal, se a distância atingida pelo projétil no ponto A for $x_\text{A}$, a expressão que rege o deslocamento em $x$, com relação ao tempo $t$, por não haver aceleração, é a do movimento uniforme:

\begin{equation} x_\text{A} = x_0 + v_{0x}t \text{,} \end{equation}

com $x_0=x_\text{B}=0$, pois é a origem horizontal do deslocamento, e, das relações trigonométricas, com $v_{0x} = v_0 \cos{\theta}$. Então:

\begin{equation} x_\text{A} = v_{0} \cos{\theta} \, t \text{.} \end{equation}

Vamos isolar $t$,

\begin{equation} t = \frac{x_\text{A}}{v_{0} \cos{\theta}} \text{,} \end{equation}

e substituí-lo na Equação (2):

\begin{equation} y_\text{A} = \frac{ \sin{\theta} \, x_\text{A} }{ \cos{\theta} } - \frac{g}{2} \frac{ x^2_\text{A} }{ v^2_0 \cos^2{\theta} } \text{.} \end{equation}

Vamos prosseguir substituindo os valores dados no enunciado, já que estão todos no SI:

\begin{align} \begin{split} 35 &= \frac{ 0,8 \cdot 120}{ 0,6 } - \frac{10}{2} \frac{ 120^2 }{ v^2_0 \, 0,6^2 } \\ &= 160 - \frac{200.000}{ v^2_0 } \text{,} \end{split} \end{align}

isto é,

\begin{equation} 125 = \frac{200.000}{ v^2_0 } \text{,} \end{equation}

ou melhor,

\begin{align} \begin{split} v^2_0 &= \frac{200.000}{ 125 } \\ &= 1.600 \text{.} \end{split} \end{align}

Por fim, extraindo a raiz quadrada,

\begin{align} \begin{split} v_0 &= \sqrt{1.600} \\ &= 40 \ \text{m/s} \text{.} \end{split} \end{align}

Resposta: c.

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