Enem 2021 - Questão resolvida #02

(Enem 2021) A figura foi extraída de um antigo jogo para computadores, chamado Bang! Bang!

No jogo, dois competidores controlam os canhões A e B, disparando balas alternadamente com o objetivo de atingir o canhão do adversário; para isso, atribuem valores estimados para o módulo da velocidade inicial de disparo ($|\vec{v_0}|$) e para o ângulo de disparo ($\theta$).

Em determinado momento de uma partida, o competidor B deve disparar; ele sabe que a bala disparada anteriormente, $\theta = 53°$, passou tangenciando o ponto $\textrm{P}$.

No jogo, $\vec{g}$ é igual a $10 \ \textrm{m/s}^2$. Considere $\sin{53°} = 0,8$, $\cos{53°} = 0,6$, e desprezível a ação de forças dissipativas.

Disponível em: http://mebdownloads.butzke.net.br.
Acesso em: 18 abr. 2015 (adaptado).

Com base nas distâncias dadas e mantendo o último ângulo de disparo, qual deveria ser, aproximadamente, o menor valor de $|\vec{v_0}|$ que permitiria ao disparo efetuado pelo canhão B atingir o canhão A?



Vamos considerar o lançamento de um projétil em B, a um ângulo $\theta$ com a horizontal, com módulo da velocidade inicial $v_0$ — isto é, módulos das velocidades iniciais $v_{0x}$ na horizontal e $v_{0y}$ na vertical — como representado na Figura 1.

Figura 1. Lançamento oblíquo. O projétil parte de B, no ponto $(x_\textrm{B},y_\textrm{B})$, a um ângulo $\theta$ com a horizontal e velocidades iniciais $v_{0x} = v_0 \cos{\theta}$ e $v_{0y} = v_0 \sin{\theta}$, passa por cima do morro e atinge A no ponto $(x_\textrm{A},y_\textrm{A})$.

No eixo vertical, a expressão que rege o deslocamento em $y$, com relação ao tempo $t$, devido à aceleração $\vec{g}$ da gravidade, é a do movimento uniformemente variado:

\begin{equation} y = y_0 + v_{0y} t - \frac{gt^2}{2} \textrm{.} \end{equation}

Se, inicialmente, $y_0=y_\textrm{B}=0$, pois é a altura do projétil em B, e, das relações trigonométricas, $v_{0y} = v_0 \, \sin{\theta}$, então:

\begin{equation} y = v_0 \, \sin{\theta} \, t - \frac{g t^2 }{2} \textrm{.} \end{equation}

Por outro lado, no eixo horizontal, a expressão que rege o deslocamento em $x$, com relação ao tempo $t$, por não haver aceleração, é a do movimento uniforme:

\begin{equation} x = x_0 + v_{0x} t \textrm{.} \end{equation}

Novamente; se, no início, $x_0=x_\textrm{B}=0$, pois é a origem horizontal do deslocamento, e, das relações trigonométricas, $v_{0x} = v_0 \cos{\theta}$ então:

\begin{equation} x = v_0 \, \cos{\theta} \, t \textrm{.} \end{equation}

Vamos isolar $t$ da expressão acima,

\begin{equation} t = \frac{x}{v_{0} \cos{\theta}} \textrm{,} \end{equation}

e substituí-lo na Equação (2):

\begin{equation} y = \frac{ \sin{\theta} \, x }{ \cos{\theta} } - \frac{g}{2} \frac{ x^2 }{ v^2_0 \cos^2{\theta} } \textrm{.} \end{equation}

Agora, para encontrar $v_0$, vamos prosseguir substituindo, na equação acima, os valores dados no enunciado referentes ao ponto A, já que estão todos no SI, isto é, $x=x_\textrm{A}=120$ e $y=y_\textrm{A}=35$:

\begin{align} \begin{split} 35 &= \frac{ 0,8 \cdot 120}{ 0,6 } - \frac{10}{2} \frac{ 120^2 }{ v^2_0 \, 0,6^2 } \\ &= 160 - \frac{200.000}{ v^2_0 } \textrm{,} \end{split} \end{align}

ou seja,

\begin{equation} 125 = \frac{200.000}{ v^2_0 } \textrm{,} \end{equation}

ou melhor,

\begin{align} \begin{split} v^2_0 &= \frac{200.000}{ 125 } \\ &= 1.600 \textrm{.} \end{split} \end{align}

Por fim, extraindo a raiz quadrada,

\begin{align} \begin{split} v_0 &= \sqrt{1.600} \\ &= 40 \ \textrm{m/s} \textrm{.} \end{split} \end{align}

Resposta: c.



6 comentários:

  1. Nikolaev Popov9/12/21 22:03

    Excelente resolução! muito obrigado!

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Olá, eu que agradeço. O blog está crescendo com o apoio de vocês!
      Acompanhe seguindo @deumfisico no Facebook, @deumfisico no Instagram e @deumfisico no Twitter para incentivar a produção de mais conteúdo totalmente grátis e de qualidade.

      Excluir
  2. Eu poderia utilizar a fórmula : Hmax=Vo².sen²(θ)/2g para resolver essa questão?

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Olá. Você poderia sim. Para determinar $v_0$, através dessa fórmula, você precisaria encontrar a altura máxima primeiro. Mas cuidado, a altura máxima não necessariamente é atingida em P.

      Excluir
  3. Prof, quando você coloca 35 como espaço, na segunda parte, ele não te daria o tempo de quando ele atingiu 35 da primeira vez, na subida? Não entendi pq deu certo
    Sei que não pode ser um erro, porque muitos profs de quem vi a resolução fizeram assim, mas realmente me bugou. Ninguém explicou pq dá pra usar 35 normalmente, assim fazendo com naturalidade. Fiquei no ENEM querendo dividir em subida e descida, perdi muito tempo de prova e não cheguei em nada na questão

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Olá! Muito pertinente sua pergunta. Fiz um pequeno ajuste na resolução para facilitar seu entendimento — talvez você nem perceba.

      A Equação (6) é quadrática em $x$, ou seja, pode haver até dois valores de $x$ para um mesmo $y$.

      Imagine que a primeira vez que o projétil atinge $35 \ \textrm{m}$ é num ponto Q. Então, na Equação (6), se substituíssemos $y=y_\textrm{Q}=35$ e $x=x_\textrm{Q}$, obteríamos o mesmo valor para a velocidade, isto é, $v_0=40 \ \textrm{m/s}$. A dificuldade é que, para fazer isso, precisaríamos do valor de $x_\textrm{Q}$. Se você estiver interessado (deixarei como exercício), é possível verificar que $x_\textrm{Q}=33,6 \ \textrm{m}$.

      Espero que ter ajudado.
      Bons estudos.

      Excluir