Produtos com vetores (resumo nível médio)

Fonte: imagem criada no Canva.

Por possuir orientação, os vetores não podem ser operados como números comuns. Em vista disso, no resumo sobre vetores vimos algumas maneiras de se lidar com a soma entre vetores.

Neste resumo, apresentaremos três tipos de produtos que envolvem vetores: a multiplicação por um número, o produto escalar e o produto vetorial.

Multiplicação por um número

Multiplicar um vetor por um número qualquer resulta na alteração dos comprimento e sentido do vetor. A direção não se altera.

Ao multiplicarmos um vetor $\vec{v}$ por um número $k$, obteremos como resultado um vetor resultante $\vec{R}$ que pode ser escrito como

\begin{equation} \vec{R} = k \vec{v} \, \textrm{.} \end{equation}

O módulo do vetor resultante é simplesmente o produto do módulo de $k$ com o módulo de $\vec{v}$:

\begin{align} \begin{split} R &= |k\vec{v}| \\ &= |k| |\vec{v}| \\ &= |k| v \, \textrm{.} \end{split} \end{align}

Figura 1. Ilustração da multiplicação de um vetor $\vec{a}$ pelos números $2$, $-1{,}5$ e $0{,}5$.

Na Figura 1 podemos observar três exemplos da multiplicação de um número pelo vetor $\vec{a}$ de módulo $a=2 \ \textrm{un}$: o vetor $\vec{b}=2\vec{a}$ tem módulo $b=4 \ \textrm{un}$, o vetor $\vec{c}=-1{,}5\vec{a}$ tem módulo $c=3 \ \textrm{un}$ e o vetor $\vec{d}=0{,}5\vec{a}$ tem módulo $d=1 \ \textrm{un}$.

Produto escalar

O produto escalar entre dois vetores é igual ao produto de seus módulos com o cosseno do ângulo formado entre eles. O resultado é sempre um número, e não um vetor.

Figura 2. Representação do ângulo formado por dois vetores.

Dado dois vetores $\vec{a}$ e $\vec{b}$, como os da Figura 2, com $\theta$ sendo o ângulo entre eles, o produto escalar de $\vec{a}$ com $\vec{b}$ é um número que pode ser escrito como

\begin{equation} \vec{a} \cdot \vec{b} = ab \cos{\theta} \, \textrm{,} \end{equation}

onde devemos obrigatoriamente colocar o ponto $\cdot$ entre os vetores.

Ainda, é interessante notar que, no produto escalar, a ordem da operação não importa, ou seja,

\begin{equation} \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} \textrm{.} \end{equation}

Produto vetorial

O produto vetorial entre dois vetores resulta em um novo vetor. O módulo desse produto é calculado através do produto dos módulos dos dois vetores com o seno do ângulo formado entre eles.

Figura 3. Em (a) temos uma representação do produto vetorial entre os vetores $\vec{a}$ e $\vec{b}$; o resultado do produto vetorial $\vec{a} \times \vec{b}$ é o vetor representado em azul. Em (b) temos o mesmo mas com uma visão em perspectiva.

Dado dois vetores $\vec{a}$ e $\vec{b}$, como os da Figura 3, o produto vetorial de $\vec{a}$ com $\vec{b}$ é designado por $\vec{a} \times \vec{b}$, onde devemos obrigatoriamente colocar o símbolo $\times$ entre os vetores, e o módulo desse produto pode ser calculado como

\begin{equation} |\vec{a} \times \vec{b}| = a b \sin{\theta_{ab}} \, \textrm{,} \end{equation}

onde $\theta_{ab}$ é o ângulo que vai do vetor $\vec{a}$ ao $\vec{b}$, isto é, é o ângulo que parte do primeiro vetor e termina no segundo vetor.

O resultado do produto vetorial entre dois vetores é um vetor de direção perpendicular a eles. Sua orientação é determinada através da regra da mão direita: ao orientarmos nossos dedos indicador, médio, anelar e mínimo na direção do primeiro vetor, e fecharmos a mão acompanhando o ângulo que vai do primeiro para o segundo vetor, a orientação do produto vetorial é igual à do polegar. Observe a Animação 1.

Animação 1. Regra da mão direita na determinação da orientação do vetor resultante de um produto vetorial.

No produto vetorial a ordem da operação é muito importante. Você pode conferir de maneira análoga à Animação 1 que, ao realizarmos o produto vetorial de $\vec{b}$ com $\vec{a}$, ou seja, $\vec{b} \times \vec{a}$, o resultado terá sentido invertido (o polegar estará entrando no plano do desenho). Assim,

\begin{equation} \vec{a} \times \vec{b} = - \vec{b} \times \vec{a} \, \textrm{.} \end{equation}

Palavras finais

Os produtos escalar e vetorial são pouco abordados em conteúdos de nível médio. Por isso, o que foi apresentado, além de não ter muita aplicação aparente, pode ser um assunto novo para muitos estudantes. Não se preocupe, não se dedique muito a isso, você não precisará se aprofundar.

Entretanto, se quiser saber mais sobre vetores, vale a pena assistir o Episódio 5, entitulado "Vetores", da série "O Universo Mecânico" (The Mechanical Universe... and Beyond, 1985) produzida pelo Instituto de Tecnologia da Califórnia (Caltech). Apesar de ser antigo, é didático e pode ser facilmente encontrado na internet.

Aproveite para assimilar este resumo resolvendo a lista de exercícios sobre produtos com vetores. Bons estudos.

---

☰ Índice de resumos

< Resumo anterior

---