Por possuir orientação, os vetores não podem ser operados como números comuns. Em vista disso, no resumo sobre vetores vimos algumas maneiras de se lidar com a soma entre vetores.
Neste resumo, apresentaremos três tipos de produtos que envolvem vetores: a multiplicação por um número, o produto escalar e o produto vetorial.
Multiplicação por um número
Multiplicar um vetor por um número qualquer resulta na alteração dos comprimento e sentido do vetor. A direção não se altera.
Ao multiplicarmos um vetor $\vec{v}$ por um número $k$, obteremos como resultado um vetor resultante $\vec{R}$ que pode ser escrito como
\begin{equation} \vec{R} = k \vec{v} \pt \end{equation}
O módulo do vetor resultante é simplesmente o produto do módulo de $k$ com o módulo de
Na Figura 1 podemos observar três exemplos da multiplicação de um número pelo vetor $\vec{a}$ de módulo
Produto escalar
O produto escalar entre dois vetores é igual ao produto de seus módulos com o cosseno do ângulo formado entre eles. O resultado é sempre um número, e não um vetor.
Dado dois vetores $\vec{a}$ e
onde devemos obrigatoriamente colocar o ponto $\cdot$ entre os vetores.
Ainda, é interessante notar que, no produto escalar, a ordem da operação não importa, ou seja,
\begin{equation} \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} \pt \end{equation}Produto vetorial
O produto vetorial entre dois vetores resulta em um novo vetor. O módulo desse produto é calculado através do produto dos módulos dos dois vetores com o seno do ângulo formado entre eles.
Dado dois vetores $\vec{a}$ e
onde $\theta_{ab}$ é o ângulo que vai do vetor $\vec{a}$ ao
O resultado do produto vetorial entre dois vetores é um vetor de direção perpendicular a eles. Sua orientação é determinada através da regra da mão direita: ao orientarmos nossos dedos indicador, médio, anelar e mínimo na direção do primeiro vetor, e fecharmos a mão acompanhando o ângulo que vai do primeiro para o segundo vetor, a orientação do produto vetorial é igual à do polegar. Observe a Animação 1.
No produto vetorial a ordem da operação é muito importante.
Você pode conferir de maneira análoga à Animação 1 que, ao realizarmos o produto vetorial de $\vec{b}$
com $\vec{a}$, ou seja,
Palavras finais
Os produtos escalar e vetorial são pouco abordados em conteúdos de nível médio. Por isso, o que foi apresentado, além de não ter muita aplicação aparente, pode ser um assunto novo para muitos estudantes. Não se preocupe, não se dedique muito a isso, você não precisará se aprofundar.
Entretanto, se quiser saber mais sobre vetores, vale a pena assistir o Episódio 5, entitulado "Vetores", da série "O Universo Mecânico" (The Mechanical Universe... and Beyond, 1985) produzida pelo Instituto de Tecnologia da Califórnia (Caltech). Apesar de ser antigo, é didático e pode ser facilmente encontrado na internet.
Aproveite para assimilar este resumo resolvendo a lista de exercícios sobre produtos com vetores. Bons estudos.
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