Vetores (resumo nível médio)

Fonte: imagem criada no Canva.

Vetor é a ferramenta matemática utilizada na descrição de grandezas vetoriais.

Em síntese, o vetor é desenhado como uma flecha: seu tamanho representa o valor numérico da grandeza, sua orientação representa a direção e a seta na ponta indica o sentido. A Figura 1 contém um exemplo de um vetor de direção horizontal e sentido para a direita.

Figura 1. Vetor de direção horizontal e sentido para a direita.

Para nomear um vetor, acrescenta-se uma flecha em cima do símbolo da grandeza, por exemplo, $\vec{v}$, $\vec{F}$ e $\vec{a}$. O vetor nulo é representado como $\vec{0}$, seu tamanho é $0$ e sua orientação é indefinida.

Um vetor é completamente descrito através de seus módulo, direção e sentido, como veremos a seguir.

Módulo de um vetor

O módulo de um número é uma operação matemática que resulta no valor absoluto do número. O resultado é sempre positivo. Se um número for positivo, seu módulo é ele próprio; se for negativo, deve-se remover o sinal de menos. A representação dessa operação é dada por um par de barras verticais.

Exemplo 1

O módulo do número $13$ é

\begin{equation*} \lvert{13}\rvert = 13 \end{equation*}

e o módulo do número $-13$ é

\begin{equation*} \lvert{-13}\rvert = 13 \pt \end{equation*}

Nesse sentido, o módulo de um vetor — também conhecido como magnitude ou intensidade — é o valor numérico absoluto da grandeza e, portanto, é um valor sempre positivo. Graficamente, o módulo é retratado no comprimento do vetor.

Exemplo 2

O vetor $\vec{a}$ da Figura 2-1 possui módulo igual a $2 \ \mathrm{un}$, onde $\mathrm{un}$ é a unidade da grandeza, ou seja, $[a]=\mathrm{un}$.

Figura 2-1. Vetor $\vec{a}$ de módulo $ 2 \ \text{un}$.

Então, podemos escrever $\lvert \vec{a} \rvert = 2 \ \text{un}$.

Como apresentado no Exemplo 2, o módulo de um vetor também é representado pelo símbolo do vetor entre barras verticais, por exemplo, $\lvert\vec{v}\rvert$, $\lvert\vec{F}\rvert$ e $\lvert\vec{a}\rvert$. Todavia, é muito comum, por praticidade, nomear o módulo de um vetor pelo símbolo do vetor sem a flecha, por exemplo, $v$, $F$ e $a$.

Direção de um vetor

A direção é a orientação do vetor no espaço. Ela pode ser das mais diversas, como horizontal, vertical ou até perpendicular a essas duas.

Figura 2. Vetores com diferentes direções: o vetor $\vec{a}$ possui direção vertical, o $\vec{b}$ horizontal e o $\vec{c}$ é perpendicular ao plano do desenho. O plano do desenho está em perspectiva para uma melhor visualização do vetor $\vec{c}$.

Nos casos representados na Figura 2, o vetor $\vec{a}$ possui direção vertical, o vetor $\vec{b}$ possui direção horizontal e o vetor $\vec{c}$ é perpendicular ao plano do desenho — note que ele atravessa o plano.

Sentido de um vetor

O sentido de um vetor se dá para onde a seta aponta — é por isso que os vetores são desenhados com uma seta em uma de suas extremidades. Então, definida uma direção, há apenas dois sentidos possíveis.

Exemplo 3

Vetores horizontais podem ter os sentidos para a esquerda ou para a direita. Vetores verticais apontam para cima ou para baixo.

Na Figura 2, como apresentado, fica evidente que o vetor $\vec{a}$ possui sentido para cima, o vetor $\vec{b}$ possui sentido para a direita, e o vetor $\vec{c}$ está entrando no plano do desenho.

Em se tratando de direções que atravessam o plano do desenho, utilizamos o símbolo $\otimes$ para representar vetores que entram no plano e $\odot$ para vetores que saem do plano.

Exemplo 4

A Figura 4-1 ilustra vetores $\vec{a}$ e $\vec{b}$ que atravessam o plano onde foram desenhados.

Figura 4-1. Vetores $\vec{a}$ entrando e vetores $\vec{b}$ saindo dos planos.

Os vetores $\vec{a}$ estão entrando nos planos e os vetores $\vec{b}$ estão saindo dos planos.

Equivalência entre vetores

Ao comparamos vetores, devemos levar em conta seus módulos, direções e sentidos, independentemente de onde estejam situados no espaço.

Vetores de mesmo módulo são aqueles que possuem o mesmo tamanho. Vetores de mesma direção são aqueles que não formam ângulo entre si. Vetores de mesmo sentido são vetores que apontam para o mesmo lugar.

Portanto, para que dois ou mais vetores sejam equivalentes (isto é, iguais), eles devem possuir os mesmos módulo, direção e sentido.

Decomposição vetorial

Usualmente, quando se trabalha com vetores, definimos um sistema de referência baseado em eixos, como o eixo $x$ e o eixo $y$ de um plano cartesiano. Dessa forma, para cada um dos eixos, conseguimos associar componentes escalares e vetoriais a esses vetores. Essa técnica é conhecida como decomposição vetorial.

Componentes vetoriais

Dado um vetor qualquer, usando o plano cartesiano, podemos decompô-lo em vetores perpendiculares entre si. Cada um desses vetores é chamado de componente vetorial ou projeção vetorial.

Figura 3. Decomposição vetorial de um vetor $\vec{v}$ em componentes vetoriais $\vec{v}_x$ e $\vec{v}_y$.

Na Figura 3, o vetor $\vec{v}$ foi decomposto em dois componentes vetoriais: $\vec{v}_x$ (componente horizontal, na direção do eixo $x$) e $\vec{v}_y$ (componente vertical, na direção do eixo $y$). Os subíndices $_x$ e $_y$ evidenciam o eixo de referência.

Dessa forma, o módulo de $\vec{v}_x$ é o tamanho do vetor $\vec{v}$ quando medido pelo eixo $x$. Igualmente, o módulo de $\vec{v}_y$ é o tamanho do vetor $\vec{v}$ quando medido pelo eixo $y$.

Componentes escalares

Para cada componente vetorial, associamos um valor escalar que pode ser chamado de componente escalar, projeção escalar, parte escalar, valor escalar ou simplesmente escalar.

A notação utilizada para o componente escalar é o símbolo do componente vetorial sem a flecha. Então, dado um vetor $\vec{v}$, dizemos que $v_x$ é o componente escalar associado a $\vec{v}_x$, ou ainda, que $v_x$ é o componente escalar de $\vec{v}$ no eixo $x$.

Por vezes, o componente escalar se confunde com o módulo do componente vetorial. Mas, na verdade, o componente escalar é o módulo do componente vetorial precedido de um sinal. Quando o sinal é positivo (ou quando não há sinal), o componente vetorial e o eixo têm o mesmo sentido. Quando o sinal é negativo, eles têm sentidos opostos.

Assim, voltando à Figura 3, $v_x=+\lvert \vec{v}_x \rvert$ e $v_y=+\lvert \vec{v}_y \rvert$ (nesses casos, os sinais de positivo não são necessários, apenas foram colocados para evidenciar que os eixos e os vetores têm o mesmo sentido).

Observe também que $\lvert v_x \rvert = \lvert \vec{v}_x \rvert$ e $\lvert v_y \rvert = \lvert \vec{v}_y \rvert$, ou seja, o módulo do componente escalar em um eixo é igual ao módulo do componente vetorial no mesmo eixo.

Figura 4. Vetores $\vec{a}$, $\vec{b}$ e $\vec{c}$ decompostos em componentes horizontais e verticais.

Na Figura 4, temos algumas das possíveis situações que podem ocorrer em uma decomposição vetorial.

Para o vetor $\vec{a}$, o componente escalar em $x$ é $a_x = \lvert \vec{a}_x \rvert$ e o componente escalar em $y$ é $a_y = - \lvert \vec{a}_y \rvert$ (o sinal negativo é devido ao fato de que $\vec{a}_y$ e o eixo $y$ possuem sentidos contrários).

Para o vetor $\vec{b}$, o componente escalar em $x$ é $b_x = - \lvert \vec{b}_x \rvert$ (pois $\vec{b}_x$ e $x$ possuem sentidos contrários) e o componente escalar em $y$ é $b_y = \lvert \vec{b}_y \rvert$.

Para o vetor $\vec{c}$, o componente escalar em $x$ é $c_x = \lvert \vec{c}_x \rvert$ e o componente escalar em $y$ é $c_y = 0$ (pois ele é horizontal).

Exemplo 5

Considere os vetores $\vec{F}$ e $\vec{P}$, da figura a seguir, de módulos $\lvert \vec{F} \rvert = F $ e $\lvert \vec{P} \rvert = P $.

Figura 5-1. Vetor $\vec{F}$ vertical e para cima e vetor $\vec{P}$ vertical e para baixo.

Graficamente, podemos concluir que o módulo de $ \vec{F}$ é $\lvert \vec{F} \rvert = 1 \ \mathrm{un}$ e o módulo de $\vec{P}$ é $\lvert \vec{P} \rvert = 2 \ \mathrm{un}$. Portanto, conclui-se que $F = 1 \ \mathrm{un}$ e $P = 2 \ \mathrm{un}$.

Ainda, adotando-se o eixo de referência $y$, vertical e para baixo, como também ilustrado na Figura 5-1, podemos dizer que o componente escalar de $\vec{F}$ em $y$ é $F_y = -1 \ \mathrm{un}$ (negativo pois $\vec{F}$ aponta em sentido contrário ao do eixo $y$) e que o componente escalar de $\vec{P}$ em $y$ é $P_y = 2 \ \mathrm{un}$.

Observe também que $\vec{F}$ e $\vec{P}$ não possuem componentes escalares no eixo horizontal $x$ pois eles são verticais. Portanto, $F_x=0$ e $P_x=0$, e, de acordo, $\vec{F}_x=\vec{0}$ e $\vec{P}_x=\vec{0}$.

Através da decomposição vetorial, podemos utilizar razões trigonométricas elementares para relacionar o vetor com seus componentes.

Figura 5. Decomposição vetorial de um vetor $\vec{v}$ que está inclinado a um ângulo $\alpha$ com relação à horizontal.

Na Figura 5, o vetor $\vec{v}$ está inclinado a um ângulo $\alpha$ com relação ao eixo $x$. Dessa forma, seu componente escalar em $x$ fica dado por

\begin{equation} v_x = \lvert \vec{v} \rvert \cos{\alpha} \vg \end{equation}

seu componente escalar em $y$ por

\begin{equation} v_y = \lvert \vec{v} \rvert \sin{\alpha} \vg \end{equation}

e ainda, ambos estão relacionados através de

\begin{equation} \tan{\alpha} = \frac {v_y}{v_x} \pt \end{equation}

Por fim, é importante notar que o módulo de um vetor também se relaciona com o módulo de seus componentes através do teorema de Pitágoras. No caso da Figura 5,

\begin{equation} {\lvert \vec{v} \rvert} = \sqrt{ {\lvert \vec{v}_x \rvert}^2 + {\lvert \vec{v}_y \rvert}^2} \vg \end{equation}

onde não foi necessário colocar o sinal $\pm$ ao extrair a raiz quadrada, já que o módulo é sempre positivo.

E ainda, como também já comentado acima, sabemos que $\abs{\vec{v}_x}=\abs{v_x}$ e $\abs{\vec{v}_x}=\abs{v_x}$. Então, podemos também reescrever a Equação (4) como

\begin{equation} \begin{aligned} {\lvert \vec{v} \rvert} &= \sqrt{{\lvert v_x \rvert}^2 + {\lvert v_y \rvert}^2} \\ &= \sqrt{v_x^2 + v_y^2 \ } \vg \end{aligned} \end{equation}

onde, na última passagem, o módulo foi retirado pois sabemos que o quadrado de qualquer número é sempre positivo.

Palavras finais

Tenha sempre cuidado para não confundir componentes escalares, que podem ser negativos, com módulos de vetores, que são sempre positivos.

Por fim, você pode fixar o que for abordado neste resumo resolvendo a lista de exercícios sobre vetores. Bons estudos.

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