Vetores (resumo nível médio)

Fonte: imagem criada no Canva.

O vetor é a ferramenta matemática utilizada na descrição de grandezas vetoriais.

Em síntese, o vetor é uma flecha: seu tamanho representa o valor numérico da grandeza, sua orientação representa a direção e sua seta na ponta indica o sentido. A Figura 1 contém um exemplo de um vetor de direção horizontal e sentido para a direita.

Figura 1. Vetor de direção horizontal e sentido para a direita.

Para nomear um vetor, acrescenta-se uma flecha em cima do símbolo da grandeza, por exemplo, $\vec{v}$, $\vec{F}$, $\vec{a}$.

Módulo de um vetor

O módulo de um número é uma operação matemática que resulta no valor absoluto do número. Em poucas palavras, se o número for positivo, seu módulo é ele próprio; se o número for negativo, deve-se remover o sinal de menos. A representação dessa operação é dada por um par de barras verticais.

Exemplo 1

O módulo do número $13$ é

\begin{equation*} |{13}| = 13 \end{equation*}

e o módulo do número $-13$ é

\begin{equation*} |{-13}| = 13 \, \text{.} \end{equation*}

Nesse sentido, o módulo de um vetor — também conhecido como magnitude — é o valor numérico da grandeza retratado no seu comprimento.

O módulo, que é sempre positivo, pode ser representado pelo símbolo do vetor entre barras verticais, por exemplo, $|\vec{v}|$, $|\vec{F}|$, $|\vec{a}|$; ou simplesmente pelo símbolo do vetor sem a flecha, por exemplo, $v$, $F$, $a$; ou seja, $|\vec{v}| = v$.

Figura 2. Vetor $\vec{a}$ de módulo $|\vec{a}| = a = 2 \ \text{un}$.

Como exemplo, o vetor $\vec{a}$ da Figura 2 possui módulo igual a $2 \ \textrm{un}$, onde $\textrm{un}$ é a unidade da grandeza, ou seja, $[a]=\textrm{un}$.

Direção de um vetor

A direção é a orientação do vetor no espaço. Ela pode ser das mais diversas, como horizontal, vertical ou até perpendicular à essas duas orientações.

Figura 3. Vetores com diferentes direções em relação ao plano do desenho: o vetor $\vec{a}$ possui direção vertical, o $\vec{b}$ horizontal e o $\vec{c}$ perpendicular. O plano do desenho está em perspectiva para uma melhor visualização do vetor $\vec{c}$.

Nos casos representados na Figura 3, o vetor $\vec{a}$ possui direção vertical com relação ao plano do desenho, o vetor $\vec{b}$ possui direção horizontal com relação ao plano do desenho e o vetor $\vec{c}$ é perpendicular ao plano do desenho — note que ele atravessa o plano.

Sentido de um vetor

Fixada uma direção, o sentido de um vetor se dá para onde a seta aponta — é por isso que os vetores são desenhados com uma seta em uma de suas extremidades. Então, definida uma direção, há apenas dois sentidos possíveis.

Por exemplo, vetores horizontais podem ter os sentidos para a esquerda ou para a direita; vetores verticais apontam para cima ou para baixo; vetores perpendiculares a esses podem estar entrando no plano ou saindo do plano do desenho.

Na Figura 3 fica evidente que, com relação ao plano do desenho, o vetor $\vec{a}$ possui sentido para cima; o vetor $\vec{b}$ possui sentido para a direita; e o vetor $\vec{c}$ está entrando no plano do desenho.

No caso de direções perpendiculares ao plano do desenho, utilizamos o símbolo $\otimes$ para representar vetores que entram no plano e $\odot$ para vetores que saem do plano.

Figura 4. Vetores $\vec{a}$ entrando e vetores $\vec{b}$ saindo dos planos.

Como exemplo, na Figura 4 os vetores $\vec{a}$ estão entrando nos planos e os vetores $\vec{b}$ estão saindo dos planos.

Equivalência entre vetores

Ao comparamos vetores devemos levar em conta seus módulos, direções e sentidos, independentemente de onde estejam localizados no espaço.

Vetores de mesmo módulo são aqueles que possuem o mesmo tamanho; vetores de mesma direção são vetores que não formam ângulo entre si; e vetores de mesmo sentido são vetores que apontam para o mesmo lugar.

Portanto, para que dois ou mais vetores sejam equivalentes (iguais), eles devem possuir os mesmos módulos, as mesmas direções e o mesmos sentidos.

Decomposição vetorial

Dado um vetor qualquer, podemos decompô-lo em componentes perpendiculares entre si. Nesse caso, os valores dos componentes podem ser obtidos através de razões trigonométricas elementares.

Figura 5. Decomposição vetorial de um vetor $\vec{v}$ em dois componentes.

Na Figura 5, o vetor $\vec{v}$ foi decomposto em dois componentes: $v_x$ (componente horizontal, na direção do eixo $x$) e $v_y$ (componente vertical, na direção do eixo $y$). Os valores desses componentes podem ser escritos como:

\begin{equation} v_x = v \cos{\alpha} \end{equation}

e

\begin{equation} v_y = v \sin{\alpha} \, \textrm{.} \end{equation}

É importante notar também que o módulo do vetor $\vec{v}$ se relaciona com seus componentes $v_x$ e $v_y$ através do teorema de Pitágoras:

\begin{equation} v^2 = v_x^2 + v_y^2 \, \textrm{.} \end{equation}

Soma vetorial

De maneira geral, graficamente, para somarmos vetores devemos organizá-los de maneira que a base de um encoste na seta de outro. O resultado da soma é dado pelo vetor que conecta a base do primeiro vetor com a seta do último.

Figura 6. Soma vetorial de $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ e $\vec{d}$ resultando no vetor $\vec{R}$.

Na Figura 6 podemos observar a soma de quatro vetores: $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ e $\vec{d}$. O resultado da soma é o vetor resultante $\vec{R}$ em vermelho. Matematicamente, podemos escrever: $\vec{R} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}$.

Soma de vetores de mesma direção

Quando os vetores forem de mesma direção podemos facilmente encontrar o vetor resultante, basta calcularmos o valor de seu componente nessa direção.

Para calcularmos o valor de seu componente em tal direção, temos que definir um sentido como sendo positivo, assim, somamos os módulos dos vetores desse sentido e subtraímos os de sentido oposto. O vetor resultante possuirá a mesma direção dos outros vetores e seu sentido dependerá do valor calculado desse componente.

Figura 7. Soma de vetores paralelos e antiparalelos, todos horizontais.

A Figura 7 contém um exemplo de soma de vetores de mesma direção $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ e $\vec{d}$, todos horizontais, de módulos $a = 1 \ \textrm{un}$, $b = 1{,}5 \ \textrm{un}$, $c = 3 \ \textrm{un}$ e $d = 1{,}5 \ \textrm{un}$. Para somá-los, escolhemos como positivo o sentido para a direita (representado em azul). Em seguida, somamos os módulos dos vetores de sentido para a direita, $\vec{a}$ e $\vec{c}$, e subtraímos os módulos dos vetores de sentido para a esquerda, $\vec{b}$ e $\vec{d}$. O resultado é o componente do vetor resultante, que também é horizontal. Observe:

\begin{align*} R_x &= a + c - b - d \\ &= 1 + 3 - 1{,}5 - 1{,}5 \\ &= 1 \ \textrm{un} \, \textrm{.} \end{align*}

No caso do cálculo do componente $R_x$ acima, por ter resultado num valor positivo, devemos interpretar que o vetor resultante $\vec{R}$ possui sentido positivo, ou seja, aponta para a direita. Do contrário, se fosse negativo, como $R_x=-1 \ \textrm{un}$ por exemplo, o vetor resultante apontaria para o lado oposto ao definido como positivo, isto é, $\vec{R}$ apontaria para a esquerda.

Por fim, o módulo $R$ do vetor resultante é simplesmente o módulo do componente $R_x$:

\begin{align*} R &= |R_x| \\ &= |1| \\ &= 1 \ \textrm{un} \, \textrm{.} \end{align*}

Soma de vetores perpendiculares

Quando a soma vetorial for entre dois vetores perpendiculares, o módulo do vetor resultante pode ser diretamente obtido através do teorema de Pitágoras.

Figura 8. Soma de dois vetores perpendiculares.

Na Figura 8, o vetor $\vec{R}$ é o resultado da soma do vetor vertical $\vec{a}$ com o vetor horizontal $\vec{b}$. O módulo de $\vec{R}$ pode ser calculado através de

\begin{equation} R = \sqrt{a^2 + b^2} \, \textrm{.} \end{equation}

Soma de vetores concorrentes

Por fim, de maneira geral, quando estamos somando dois vetores de direções quaisquer, podemos recorrer à lei dos cossenos.

Figura 9. Soma de dois vetores concorrentes.

Na Figura 9, o vetor $\vec{R}$ é o resultado da soma dos vetores $\vec{a}$ e $\vec{b}$ que formam um ângulo $\alpha$ entre si. O módulo de $\vec{R}$, nesse caso, pode ser calculado através de

\begin{equation} R = \sqrt{a^2 + b^2 - 2 a b \cos{\alpha}} \, \textrm{.} \end{equation}

Palavras finais

Você pode fixar o que for abordado neste resumo resolvendo a lista de exercícios sobre vetores. Bons estudos.

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