Vetores - Resumo Nível Médio

Vetor é a ferramenta matemática utilizada na descrição de grandezas vetoriais. Em síntese, o vetor é uma seta: seu tamanho representa o valor numérico e a unidade, sua orientação representa a direção e sua ponta indica o sentido. A imagem abaixo é um exemplo de um vetor de direção horizontal e sentido para a direita.

Figura 1. Vetor horizontal para a direita.

Para nomear um vetor, acrescenta-se uma seta em cima do símbolo da grandeza, por exemplo, $\vec{v}$, $\vec{F}$, $\vec{a}$.

Módulo de um vetor

O módulo de um vetor — também conhecido como comprimento, intensidade, magnitude, parte escalar — é o valor numérico da grandeza, que é retratado no tamanho da seta. Para representá-lo, colocamos o símbolo do vetor entre barras, por exemplo, $|\vec{v}|$, $|\vec{F}|$, $|\vec{a}|$; ou retiramos a seta, por exemplo, $v$, $F$, $a$; ou seja, $|\vec{v}| = v$.

Figura 2. Vetor de módulo $a=6 \ \text{un}$.

Assim, o vetor $\vec{a}$ da imagem acima possui módulo igual a 6 un, onde un é a unidade da grandeza.

Direção de um vetor

A direção é a orientação do vetor no espaço. Ela pode ser das mais diversas, como horizontal, vertical, ou ainda, perpendicular à essas duas orientações, que é mais difícil de ser desenhado.

Sentido de um vetor

Fixada uma orientação, o sentido do vetor se dá para onde a seta aponta. Por exemplo, vetores horizontais podem ter os sentidos para a esquerda ou para a direita; vetores verticais apontam para cima ou para baixo; e vetores perpendiculares a estes apontam para onde se olha ou para os olhos.

No caso dos dois últimos sentidos do parágrafo anterior, utilizamos o símbolo ⨂ para representar vetores que apontam para onde se olha e ⨀ para vetores que apontam para os olhos.

Equivalência entre vetores

Quando comparamos vetores devemos levar em conta apenas seus módulos, direções e sentidos.

Vetores de mesmo módulo são aqueles que possuem o mesmo tamanho. A Figura 3 contém alguns vetores de módulo igual a 2 un.

Figura 3. Vetores de mesmo módulo.

Vetores de mesma direção são vetores paralelos entre si. Os vetores da Figura 4 possuem a mesma direção, independente de seus tamanhos e sentidos.

Figura 4. Vetores de mesma direção.

Vetores de mesmo sentido são vetores que apontam para o mesmo lugar, como os da Figura 5.

Figura 5. Vetores de mesmo sentido.

Portanto, para que dois ou mais vetores sejam equivalentes, ou iguais, basta que seus módulos, direções e sentidos sejam iguais, como mostrado na Figura 6.

Figura 6. Vetores equivalentes.

Soma vetorial

De maneira geral, graficamente, para somarmos vetores devemos organizá-los de maneira que a base de um encoste na ponta de outro. O resultado da soma é dado pelo vetor que conecta a base do primeiro vetor com a ponta do último.

Figura 7. Soma vetorial.

Na Figura 7 podemos observar a soma dos vetores $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ e $\vec{d}$. O resultado da soma é o vetor resultante $\vec{R}$ em vermelho. Em outras palavras, $\vec{R} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}$.

Soma de vetores paralelos

Quando os vetores forem de mesma direção, definimos um sentido como sendo positivo para somarmos os módulos dos vetores deste sentido e subtrairmos os de sentido oposto.

A Figura 8 mostra um exemplo de soma dos vetores $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ e $\vec{d}$, todos horizontais, de módulos $a = 1 \ \textrm{un}$, $b = 1,5 \ \textrm{un}$, $c = 3 \ \textrm{un}$ e $d = 1,5 \ \textrm{un}$.

Figura 8. Soma de vetores paralelos.

Para somá-los, escolhemos como positivo o sentido para a direita. Em seguida, somamos os vetores de sentido para a direita e subtraímos os vetores de sentido para a esquerda. O módulo do vetor resultante é então:

\begin{equation*} R = a + c - b - d = 1 \ \textrm{un.} \end{equation*}

Note que o resultado foi positivo, isto significa que o vetor resultante $\vec{R}$ possui sentido positivo, ou seja, aponta para a direita; do contrário, se fosse negativo, apontaria para a esquerda.

Soma de vetores perpendiculares

Quando a soma vetorial for entre dois vetores perpendiculares, o módulo do vetor resultante pode ser diretamente obtido através do Teorema de Pitágoras.

Figura 9. Soma de vetores perpendiculares.

\begin{equation} R^2 = a^2 + b^2 \end{equation}

Soma de vetores concorrentes

Por fim, de maneira geral, quando estamos somando dois vetores de direções quaisquer, podemos recorrer à lei dos cossenos.

Figura 10. Soma de vetores concorrentes.

\begin{equation} R^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos{\alpha} \end{equation}

Decomposição vetorial

Dado um vetor qualquer, podemos decompô-lo em duas componentes perpendiculares entre si, horizontal e vertical por exemplo. Neste caso, os módulos das componentes podem ser calculados através de relações trigonométricas elementares.

Figura 11. Decomposição vetorial.

Acima, o vetor $\vec{v}$ foi decomposto nas componentes $\vec{v_x}$ e $\vec{v_y}$. Utilizando trigonometria, seus módulos podem ser escritos como:

\begin{equation} v_x = v \cdot \cos{\alpha} \end{equation} \begin{equation} v_y = v \cdot \sin{\alpha} \end{equation}

É importante notar também que $\vec{v} = \vec{v_x} + \vec{v_y}$.

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