Vetores (resumo nível médio)

Fonte: imagem criada no Canva.

Vetor é a ferramenta matemática utilizada na descrição de grandezas vetoriais.

Em síntese, o vetor é desenhado como uma flecha: seu tamanho representa o valor numérico da grandeza, sua orientação representa a direção e a seta na ponta indica o sentido. A Figura 1 contém um exemplo de um vetor de direção horizontal e sentido para a direita.

Figura 1. Vetor de direção horizontal e sentido para a direita.

Para nomear um vetor, acrescenta-se uma flecha em cima do símbolo da grandeza, por exemplo, $\vec{v}$, $\vec{F}$ e $\vec{a}$. O vetor nulo é representado como $\vec{0}$, seu tamanho é $0$ e sua orientação é indefinida.

Um vetor é completamente descrito através de seus módulo, direção e sentido, como veremos a seguir.

Módulo de um vetor

O módulo de um vetor — também conhecido como magnitude ou intensidade — é o valor numérico absoluto da grandeza e, assim como o módulo de um número, seu valor é sempre positivo.

O módulo de um vetor é representado pelo símbolo do vetor entre barras verticais. Todavia, é muito comum, por praticidade, nomear o módulo de um vetor pelo símbolo do vetor sem a flecha.

Exemplo 1

Dado os vetores $\vec{v}$, $\vec{F}$ e $\vec{a}$, seus módulos são respectivamente denotados por $\lvert\vec{v}\rvert$, $\lvert\vec{F}\rvert$ e $\lvert\vec{a}\rvert$. Além disso, esses módulos também podem ser denotados por $v$, $F$ e $a$.

Graficamente, o módulo de um vetor é retratado no seu comprimento.

Exemplo 2

O vetor $\vec{a}$ da Figura 2-1 possui módulo igual a $2 \ \mathrm{un}$, onde $\mathrm{un}$ é a unidade da grandeza, ou seja, $[a]=\mathrm{un}$.

Figura 2-1. Vetor $\vec{a}$ de módulo $ 2 \ \text{un}$.

Então, podemos escrever $\lvert \vec{a} \rvert = 2 \ \text{un}$.

Direção de um vetor

A direção é a orientação do vetor no espaço. Ela pode ser das mais diversas, como horizontal, vertical ou até perpendicular a essas duas.

Figura 2. Vetores com diferentes direções: o vetor $\vec{a}$ possui direção vertical, o $\vec{b}$ horizontal e o $\vec{c}$ é perpendicular ao plano do desenho. O plano do desenho está em perspectiva para uma melhor visualização do vetor $\vec{c}$.

Nos casos representados na Figura 2, o vetor $\vec{a}$ possui direção vertical, o vetor $\vec{b}$ possui direção horizontal e o vetor $\vec{c}$ é perpendicular ao plano do desenho — note que ele atravessa o plano.

Sentido de um vetor

O sentido de um vetor se dá para onde a seta aponta — é por isso que os vetores são desenhados com uma seta em uma de suas extremidades. Então, definida uma direção, há apenas dois sentidos possíveis.

Exemplo 3

Vetores horizontais podem ter os sentidos para a esquerda ou para a direita. Vetores verticais apontam para cima ou para baixo.

Na Figura 2, como apresentado, fica evidente que o vetor $\vec{a}$ possui sentido para cima, o vetor $\vec{b}$ possui sentido para a direita, e o vetor $\vec{c}$ está entrando no plano do desenho.

Em se tratando de direções que atravessam o plano do desenho, utilizamos o símbolo $\otimes$ para representar vetores que entram no plano e $\odot$ para vetores que saem do plano.

Exemplo 4

A Figura 4-1 ilustra vetores $\vec{a}$ e $\vec{b}$ que atravessam o plano onde foram desenhados.

Figura 4-1. Vetores $\vec{a}$ entrando e vetores $\vec{b}$ saindo dos planos.

Os vetores $\vec{a}$ estão entrando nos planos e os vetores $\vec{b}$ estão saindo dos planos.

Equivalência entre vetores

Ao comparamos vetores, devemos levar em conta seus módulos, direções e sentidos, independentemente de onde estejam situados no espaço.

Vetores de mesmo módulo são aqueles que possuem o mesmo tamanho. Vetores de mesma direção são aqueles que não formam ângulo entre si. Vetores de mesmo sentido são vetores que apontam para o mesmo lugar.

Portanto, para que dois ou mais vetores sejam equivalentes (isto é, iguais), eles devem possuir os mesmos módulo, direção e sentido.

Decomposição vetorial

Usualmente, quando se trabalha com vetores, definimos um sistema de referência baseado em eixos, como o eixo $x$ e o eixo $y$ de um plano cartesiano. Dessa forma, para cada um dos eixos, conseguimos associar componentes escalares e vetoriais a esses vetores. Essa técnica é conhecida como decomposição vetorial.

Componentes vetoriais

Dado um vetor qualquer, usando o plano cartesiano, podemos decompô-lo em vetores perpendiculares entre si. Cada um desses vetores é chamado de componente vetorial ou projeção vetorial.

Figura 3. Decomposição vetorial de um vetor $\vec{v}$ em componentes vetoriais $\vec{v}_x$ e $\vec{v}_y$.

Na Figura 3, o vetor $\vec{v}$ foi decomposto em dois componentes vetoriais: $\vec{v}_x$ (componente horizontal, na direção do eixo $x$) e $\vec{v}_y$ (componente vertical, na direção do eixo $y$). Os subíndices $_x$ e $_y$ evidenciam o eixo de referência.

Dessa forma, o módulo de $\vec{v}_x$ é o tamanho do vetor $\vec{v}$ quando medido pelo eixo $x$. Igualmente, o módulo de $\vec{v}_y$ é o tamanho do vetor $\vec{v}$ quando medido pelo eixo $y$.

Componentes escalares

Para cada componente vetorial, associamos um valor escalar que pode ser chamado de componente escalar, projeção escalar, parte escalar, valor escalar ou simplesmente escalar.

A notação utilizada para o componente escalar é o símbolo do componente vetorial sem a flecha. Então, dado um vetor $\vec{v}$, dizemos que $v_x$ é o componente escalar associado a $\vec{v}_x$, ou ainda, que $v_x$ é o componente escalar de $\vec{v}$ no eixo $x$.

Por vezes, o componente escalar se confunde com o módulo do componente vetorial. Mas, na verdade, o componente escalar é o módulo do componente vetorial precedido de um sinal. Quando o sinal é positivo (ou quando não há sinal), o componente vetorial e o eixo têm o mesmo sentido. Quando o sinal é negativo, eles têm sentidos opostos.

Assim, voltando à Figura 3, $v_x=+\lvert \vec{v}_x \rvert$ e $v_y=+\lvert \vec{v}_y \rvert$ (nesses casos, os sinais de positivo não são necessários, apenas foram colocados para evidenciar que os eixos e os vetores têm o mesmo sentido).

Observe também que $\lvert v_x \rvert = \lvert \vec{v}_x \rvert$ e $\lvert v_y \rvert = \lvert \vec{v}_y \rvert$, ou seja, o módulo do componente escalar em um eixo é igual ao módulo do componente vetorial no mesmo eixo.

Figura 4. Vetores $\vec{a}$, $\vec{b}$ e $\vec{c}$ decompostos em componentes horizontais e verticais.

Na Figura 4, temos algumas das possíveis situações que podem ocorrer em uma decomposição vetorial.

Para o vetor $\vec{a}$, o componente escalar em $x$ é $a_x = \lvert \vec{a}_x \rvert$ e o componente escalar em $y$ é $a_y = - \lvert \vec{a}_y \rvert$ (o sinal negativo é devido ao fato de que $\vec{a}_y$ e o eixo $y$ possuem sentidos contrários).

Para o vetor $\vec{b}$, o componente escalar em $x$ é $b_x = - \lvert \vec{b}_x \rvert$ (pois $\vec{b}_x$ e $x$ possuem sentidos contrários) e o componente escalar em $y$ é $b_y = \lvert \vec{b}_y \rvert$.

Para o vetor $\vec{c}$, o componente escalar em $x$ é $c_x = \lvert \vec{c}_x \rvert$ e o componente escalar em $y$ é $c_y = 0$ (pois $\vec{c}$ é horizontal). Nesse caso, é direto concluir que o módulo de $\vec{c}$ é igual ao componente em $x$, isto é, $\abs{\vec{c}}=\abs{\vec{c}_x}=c_x$.

Exemplo 5

Considere os vetores $\vec{F}$ e $\vec{P}$, da figura a seguir, de módulos $\lvert \vec{F} \rvert = F $ e $\lvert \vec{P} \rvert = P $.

Figura 5-1. Vetor $\vec{F}$ vertical e para cima e vetor $\vec{P}$ vertical e para baixo.

Graficamente, podemos aferir que o módulo de $ \vec{F}$ é $\lvert \vec{F} \rvert = 1 \ \mathrm{un}$ e o módulo de $\vec{P}$ é $\lvert \vec{P} \rvert = 2 \ \mathrm{un}$. Portanto, conclui-se que $F = 1 \ \mathrm{un}$ e $P = 2 \ \mathrm{un}$.

Ainda, adotando-se o eixo de referência $y$, vertical e para baixo, como também ilustrado na Figura 5-1, podemos dizer que o componente escalar de $\vec{F}$ em $y$ é $F_y = -1 \ \mathrm{un}$ (negativo pois $\vec{F}$ aponta em sentido contrário ao do eixo $y$) e que o componente escalar de $\vec{P}$ em $y$ é $P_y = 2 \ \mathrm{un}$.

Observe também que $\vec{F}$ e $\vec{P}$ não possuem componentes escalares num determinado eixo horizontal $x$, pois eles são completamente verticais. Então, $F_x=0$ e $P_x=0$, e, de acordo, $\vec{F}_x=\vec{0}$ e $\vec{P}_x=\vec{0}$.

Portanto, $F_y=-F$ e $P_y=P$, ou ainda, em módulo, $\abs{F_y}=F$ e $\abs{P_y}=P$.

Através da decomposição vetorial, podemos utilizar razões trigonométricas elementares para relacionar o vetor com seus componentes.

Figura 5. Decomposição vetorial de um vetor $\vec{v}$ que está inclinado a um ângulo $\alpha$ com relação à horizontal.

Na Figura 5, o vetor $\vec{v}$ está inclinado a um ângulo $\alpha$ com relação ao eixo $x$. Dessa forma, seu componente escalar em $x$ fica dado por

\begin{equation} v_x = \lvert \vec{v} \rvert \cos{\alpha} \vg \end{equation}

seu componente escalar em $y$ por

\begin{equation} v_y = \lvert \vec{v} \rvert \sin{\alpha} \vg \end{equation}

e ainda, ambos estão relacionados através de

\begin{equation} \tan{\alpha} = \frac {v_y}{v_x} \pt \end{equation}

É importante notar também que o módulo de um vetor também se relaciona com o módulo de seus componentes através do teorema de Pitágoras. No caso da Figura 5,

\begin{equation} {\lvert \vec{v} \rvert} = \sqrt{ {\lvert \vec{v}_x \rvert}^2 + {\lvert \vec{v}_y \rvert}^2} \vg \end{equation}

onde não foi necessário colocar o sinal $\pm$ ao extrair a raiz quadrada, já que o módulo é sempre positivo.

E ainda, como também já comentado acima, sabemos que $\abs{\vec{v}_x}=\abs{v_x}$ e $\abs{\vec{v}_x}=\abs{v_x}$. Então, podemos também reescrever a Equação (4) como

\begin{equation} \begin{aligned} {\lvert \vec{v} \rvert} &= \sqrt{{\lvert v_x \rvert}^2 + {\lvert v_y \rvert}^2} \\ &= \sqrt{v_x^2 + v_y^2 \ } \vg \end{aligned} \end{equation}

onde, na última passagem, o módulo pôde ser retirado pois sabemos que o quadrado de qualquer número é sempre positivo.

Por fim, observe, na Equação (4) ou (5), que se um dos componentes for nulo, o módulo do vetor é simplesmente o módulo do outro componente.

Exemplo 6

Considerando a Equação (5), para casos em que $v_y=0$, podemos concluir que $\vec{v}=\abs{v_x}$, observe:

\begin{equation*} \begin{aligned} \abs{\vec{v}} &= \sqrt{v_x^2+v_y^2} \\ &= \sqrt{ v_x ^2} \\ &= \sqrt{ \lvert v_x \rvert^2} \\ &= \rvert v_x \rvert \vg \end{aligned} \end{equation*}

onde, na penúltima passagem, antes de extrairmos a raiz, o módulo precisou ser recolocado, pois sabemos que o quadrado de qualquer número deve sempre ser positivo.

Palavras finais

Tenha sempre cuidado para não confundir componentes escalares, que podem ser negativos, com módulos de vetores, que são sempre positivos.

Por fim, você pode fixar o que for abordado neste resumo resolvendo a lista de exercícios sobre vetores. Bons estudos.

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