Soma entre vetores (exercícios nível médio)

Fonte: imagem criada no Canva.

Resolva a lista de exercícios a seguir para testar seus conhecimentos sobre soma entre vetores.

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1 As forças $\vec{F_1}$, $\vec{F_2}$, $\vec{F_3}$ e $\vec{F_4}$ atuam verticalmente sobre um pacote, conforme ilustrado a seguir.

Sabendo que seus módulos são $\lvert \vec{F}_1 \rvert = 100 \ \mathrm{N}$, $\lvert \vec{F}_2 \rvert = 10 \ \mathrm{N}$, $\lvert \vec{F}_3 \rvert = 20 \ \mathrm{N}$ e $\lvert \vec{F}_4 \rvert = 30 \ \mathrm{N}$, assinale a alternativa que corresponde, respectivamente, ao módulo, à direção e ao sentido do vetor de força resultante da soma desses quatro vetores.

a) $160 \ \mathrm{N}$, vertical, de baixo para cima. b) $60 \ \mathrm{N}$, vertical, de cima para baixo. c) $40 \ \mathrm{N}$, vertical, de cima para baixo. d) $160 \ \mathrm{N}$, vertical, de cima para baixo. e) $60 \ \mathrm{N}$, horizontal, da esquerda para a direita.

2 Em um determinado instante, aplicou-se, a uma bola, duas forças representadas pelos vetores $\vec{P}$ e $\vec{I}$, como ilustrado na figura abaixo.

As forças formam um ângulo de $120 \gr$ entre si e suas intensidades são $\abs{\vec{P}}=5 \ \mathrm{N}$ e $\abs{\vec{I}}=100 \ \mathrm{N}$. Sabendo que a força resultante $\vec{F}_\mathrm{R}$ é dada pela soma desses dois vetores, calcule seu módulo. Para isso, se necessário, use que $\sin{(120\gr)}=\sqrt{3}/2$, $\cos{(120\gr)}=-1/2$ e uma calculadora.

O módulo da força resultante é $\abs{\vec{F}_\mathrm{R}}\approx 102{,}6 \ \mathrm{N}$.

3 Após percorrer $ \lvert \vec{d}_1 \rvert = 40 \ \mathrm{m}$ para o norte, um caminhante percorre mais $\lvert \vec{d}_2 \rvert =30 \ \mathrm{m}$ para o leste. Portanto, em termos vetoriais, seu deslocamento total foi de $\vec{R} = \vec{d}_1+\vec{d}_2$.

a) Represente, vetorialmente, o trajeto do caminhante junto com o respectivo vetor deslocamento.

b) Determine os componentes vetoriais $\vec{R}_x$ em $x$ e $\vec{R}_y$ em $y$, assumindo que o eixo $x$ é horizontal e para a direita e que o $y$ é vertical e para cima.

Os componentes vetoriais de $\vec{R}$ são $\vec{R}_x=\vec{d}_2$ e $\vec{R}_y=\vec{d}_1$.

c) Calcule o módulo do vetor deslocamento.

O módulo do vetor deslocamento é:

\begin{aligned} \abs{\vec{R}} &= \sqrt{\lvert \vec{R}_x \rvert^2+\lvert \vec{R}_y\rvert ^2} \\ &= \sqrt{\lvert \vec{d}_1 \rvert^2+\lvert \vec{d}_2 \rvert^2}\\ &= \sqrt{40^2+30^2} \\ &= 50 \ \mathrm{m} \pt \end{aligned}

4 Na figura a seguir estão ilustrados três vetores em um sistema de coordenadas com subdivisões de $1 \ \mathrm{cm}$.

Considere que $\vec{v}$ é o vetor resultante da soma entre $\vec{v}_1$, $\vec{v}_2$ e $\vec{v}_3$, isto é, $\vec{v}=\vec{v}_1+\vec{v}_2+\vec{v}_3$, e faça o que é pedido nos itens abaixo.

a) Determine o valor do componente escalar de $\vec{v}$ em $x$.

O componente escalar de $\vec{v}$ em $x$ é $v_x=-2 \ \mathrm{cm}$.

b) Determine o valor do componente escalar de $\vec{v}$ em $y$.

O componente escalar de $\vec{v}$ em $y$ é $v_y=-3 \ \mathrm{cm}$.

c) Calcule o módulo de $\vec{v}$. Use uma calculadora, se necessário.

O módulo de $\vec{v}$ é $\abs{\vec{v}}\approx 3{,}6 \ \mathrm{cm}$.

d) Esboçe $\vec{v}$ e seus componentes vetoriais $\vec{v}_x$ e $\vec{v}_y$.

5 Considere duas forças de mesma intensidade. Se o módulo de cada uma delas é $F$ e suas direções são tais a formar um ângulo de $120^\circ$, qual é o módulo da força resultante?

a) $2F$ b) $F$ c) $\sqrt{2}F$ d) $F/\sqrt{2}$ e) $F/2$

6 É possível que o módulo da soma vetorial entre dois vetores seja menor que o módulo de cada um dos vetores somados? Dê um exemplo.

Sim. Como exemplo, podemos considerar dois vetores de mesmos módulo e direção, mas com sentidos opostos. A soma entre eles é o vetor $\vec{0}$, cujo módulo é $0$.

7 Uma caixa está sobre uma rampa, que é um plano inclinado a $30\gr$. Duas forças estão sendo aplicadas a ela, a força de atrito $\vec{F}_\textrm{at}$ e a força peso $\vec{P}$, cujos módulos são $\abs{\vec{F}_\textrm{at}}= 2 \ \mathrm{N}$ e $\abs{\vec{P}}=10 \ \mathrm{N}$. A situação está ilustrada na figura a seguir.

Considere que a força resultante é $\vec{F}_\textrm{R}=\vec{P}+\vec{F}_\textrm{at}$ e responda o que se pede nos itens a seguir. Para facilitar, utilize o sistema de coordenadas $xy$, que também está ilustrado na figura, onde $x$ possui a mesma inclinação que a rampa e $y$ é perpendicular à superfície dela.

a) Calcule o componente escalar em $x$ da força peso.

$P_x=5 \ \mathrm{N}\pt$

b) Calcule o componente escalar em $y$ da força peso. Utilize uma calculadora, se necessário.

$P_y=-5\sqrt{3} \approx -8{,}7 \ \mathrm{N}\pt$

c) Qual é o componente vetorial em $y$ da força de atrito?

$\vec{F}_{\textrm{at}y}=\vec{0}\pt$

d) Calcule o componente escalar em $x$ da força resultante.

$F_{\textrm{R}x}=3 \ \mathrm{N}\pt$

e) Calcule o componente escalar em $y$ da força resultante.

$F_{\textrm{R}y}\approx -8{,}7 \ \mathrm{N}\pt$

f) Determine o módulo da força resultante. Utilize uma calculadora, se necessário.

$\abs{\vec{F}_\textrm{R}} \approx 9{,}2\pt$

8 Um objeto de peso $\vec{P}$ está sendo sustentado por duas cordas idênticas, como ilustrado na figura abaixo. As cordas fazem um ângulo de $30\gr$ com relação ao teto (borda superior da figura) e exercem, sobre o objeto, forças $\vec{T}_1$ e $\vec{T}_2$ de módulos iguais a $T$, isto é, $\abs{\vec{T}_1}=\abs{\vec{T}_2}=T$. O sistema está em equilíbrio. Em outras palavras, a força resultante $\vec{F}_\textrm{R}$ do sistema é nula: $\vec{F}_\textrm{R}=\vec{T}_1+\vec{T}_2+\vec{P}=\vec{0}$.

Sabendo que o módulo de $\vec{P}$ é $\abs{\vec{P}}=P$, Assinale a alternativa que corresponde ao valor de $T$.

a) $2P$ b) $\sqrt{3}P/2$ c) $P$ d) $P/2$ e) $2P/\sqrt{3}$

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