Soma entre vetores (resumo nível médio)

Fonte: imagem criada no Canva.

Vetores são objetos matemáticos que não obedecem às regras utilizadas nas adição e subtração de números algébricos. Para somar vetores devemos recorrer ao que é chamado de soma vetorial.

Geometricamente, para somarmos vetores, devemos organizá-los de maneira que a base de um encoste na ponta de outro. O resultado da soma, chamado de vetor resultante, é o vetor que conecta a base do primeiro vetor com a ponta do último.

Exemplo 1

Considere os vetores $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ e $\vec{d}$ da Figura 1-1.

Figura 1-1. Quatro vetores distintos: $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ e $\vec{d}$.

Para somá-los, podemos livremente reordená-los de maneira que a base de um encoste na ponta de outro. O vetor resultante da soma é aquele que conecta a base do primeiro vetor com a ponta do último.

Figura 1-2. Representação gráfica da soma vetorial de $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ e $\vec{d}$, resultando no vetor $\vec{R}$.

O vetor $\vec{R}$ da Figura 1-2 é o vetor resultante dessa soma. Matematicamente, podemos escrever $\vec{R} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}$. Observe que o resultado final não depende da ordem da soma.

Algebricamente, para somarmos vetores, podemos, para cada eixo isoladamente, somar os componentes escalares dos vetores. E então, para cada eixo, o resultado dessa soma é o componente escalar do vetor resultante.

Exemplo 2

Considere, na figura a seguir, a malha de $\mathrm{1 \ \mathrm{cm}}$ e os três vetores a serem somados.

Figura 2-1. Vetores $\vec{a}$, $\vec{b}$ e $\vec{c}$ em uma grade de $1 \ \mathrm{cm}$.

Seja $\vec{R}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$ o vetor resultante da soma dos vetores da Figura 2-1.

Se definirmos um eixo $x$ horizontal e para a direita, podemos verificar que os vetores $\vec{a}$, $\vec{b}$ e $\vec{c}$ têm componentes escalares $a_x=0$, $b_x=1 \ \mathrm{cm}$ e $c_x=1 \ \mathrm{cm}$ nesse eixo. Então, o componente escalar de $\vec{R}$ em $x$ é:

\begin{aligned} R_x &= a_x + b_x + c_x \\ &= 0 + 1 + 1 \\ &= 2 \ \mathrm{cm}\pt \end{aligned}

Agora, de acordo com um eixo $y$ vertical e para cima, os vetores têm componentes escalares nesse eixo dados por $a_y=1 \ \mathrm{cm}$, $b_y=1 \ \mathrm{cm}$ e $c_y=-3 \ \mathrm{cm}$. Então, o componente escalar de $\vec{R}$ em $y$ é:

\begin{aligned} R_y &= a_y + b_y + c_y \\ &= 1 + 1 -3 \\ &= -1 \ \mathrm{cm}\pt \end{aligned}

Com essas informações, baseando-se na técnica de decomposição vetorial, podemos recompor graficamente o vetor resultante.

Figura 2-2. Vetor resultante $\vec{R}$, de componentes vetoriais $\vec{R}_x$ na horizontal e $\vec{R}_y$ na vertical, obtido através da soma algébrica.

Ainda trabalhando com a decomposição vetorial, podemos também encontrar o módulo de $\vec{R}$:

\begin{aligned} \lvert \vec{R} \rvert &= \sqrt{\lvert \vec{R}_x \rvert^2 + \lvert \vec{R}_y \rvert^2} \\ &= \sqrt{\lvert R_x \rvert^2 + \lvert R_y \rvert^2} \\ &= \sqrt{ R_x^2 + R_y^2} \\ &= \sqrt{2^2 + (-1)^2} \\ &= \sqrt{4 + 1} \\ &= \sqrt{5} \\ &\approx 2{,}2 \ \mathrm{cm} \pt \end{aligned}

Por fim, observe na Figura 2-3 que também poderíamos ter realizado essa soma de maneira geométrica.

Figura 2-3. Vetor resultante $\vec{R}$ obtido através da soma geométrica.

Note, através das Figuras 2-2 e 2-3, que os vetores resultantes obtidos são iguais: possuem mesmos módulo, direção e sentido.

Exemplo 3

Considere os vetores $\vec{a}$ e $\vec{b}$ da figura a seguir.

Figura 3-1. Vetores $\vec{a}$ e $\vec{b}$ a serem somados.

Definindo-se um eixo $x$ horizontal e para a direita e um eixo $y$ vertical e para cima, podemos escrever seus componentes como sendo $a_x=1 \ \mathrm{cm}$, $a_y=1 \ \mathrm{cm}$, $b_x=1 \ \mathrm{cm}$ e $b_y=3 \ \mathrm{cm}$. Assim, se a soma entre eles resulta num vetor $\vec{R}=\vec{a}+\vec{b}$, o componente escalar de $\vec{R}$ na horizontal é

\begin{aligned} R_x &= a_x + b_x \\ &= 1 + 1 \\ &= 2 \ \mathrm{cm} \vg \end{aligned}

e o componente escalar de $\vec{R}$ na vertical é

\begin{aligned} R_y &= a_y + b_y \\ &= 1 + 3 \\ &= 4 \ \mathrm{cm} \pt \end{aligned}

Por outro lado, a soma geométrica $\vec{R}=\vec{a}+\vec{b}$ pode ser feita como ilustrado na figura abaixo.

Figura 3-2. Representação geométrica de $\vec{R}=\vec{a}+\vec{b}$.

Por fim, observe, na Figura 3-2, que o componente vetorial de $\vec{R}$ em $x$ é dado pela soma dos componentes vetoriais de $\vec{a}$ e $\vec{b}$ em $x$, portanto, $\vec{R}_x=\vec{a}_x+\vec{b}_x$. Analogamente, o componente vetorial de $\vec{R}$ em $y$ é dado pela soma dos componentes vetoriais de $\vec{a}$ e $\vec{b}$ em $y$, isto é, $\vec{R}_y=\vec{a}_y+\vec{b}_y$.

Casos particulares

Agora, veremos alguns casos particulares que podem aparecer em somas vetoriais.

Soma entre vetores de mesma direção

Na soma entre vetores de mesma direção, podemos facilmente encontrar o vetor resultante, já que sua direção será a mesma que a dos vetores a serem somados. Para isso, basta somarmos os componentes escalares desses vetores. Como já vimos, o resultado é o componente escalar do vetor resultante.

Exemplo 4

A Figura 4-1 contém quatro vetores de mesma direção, $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ e $\vec{d}$, todos horizontais, de módulos $\lvert \vec{a} \rvert = 1 \ \mathrm{un}$, $ \lvert \vec{b} \rvert = 1{,}5 \ \mathrm{un}$, $\lvert \vec{c} \rvert = 1{,}5 \ \mathrm{un}$ e $\lvert \vec{d} \rvert = 2{,}5 \ \mathrm{un}$.

Figura 4-1. Vetores de mesma direção, paralelos e antiparalelos, horizontais.

Note que, definindo um eixo $x$ como referência, horizontal e para a direita, $a_x=\lvert \vec{a} \rvert$, $b_x=\lvert \vec{b} \rvert$, $c_x=-\lvert \vec{c} \rvert$ e $d_x=-\lvert \vec{d} \rvert$, pois todos os vetores são horizontais.

Para somá-los geometricamente, podemos proceder como ilustrado na Figura 4-2, onde $\vec{R}$ é o vetor resultante da soma.

Figura 4-2. Representação gráfica de uma soma de vetores horizontais. Os vetores foram organizados no espaço de forma a evidenciar o vetor resultante $\vec{R}$.

Algebricamente, podemos somar os componentes escalares em $x$ dos vetores. Observe:

\begin{align*} R_x &= a_x + b_x + c_x + d_x \\ &= \lvert \vec{a} \rvert + \lvert \vec{b} \rvert - \lvert \vec{c} \rvert - \lvert \vec{d} \rvert \\ &= 1 + 1{,}5 - 1{,}5 - 2{,}5 \\ &= - 1{,}5 \ \mathrm{un} \pt \end{align*}

Então, o módulo do vetor resultante é $\lvert \vec{R} \rvert = 1{,}5 \ \mathrm{un}$. O sinal negativo em $R_x$ informa que o sentido de $\vec{R}$ é contrário ao sentido do eixo $x$ adotado.

Soma entre dois vetores perpendiculares

Quando a soma vetorial for entre dois vetores perpendiculares, o módulo do vetor resultante pode ser diretamente obtido através do teorema de Pitágoras.

Figura 1. Soma entre dois vetores perpendiculares.

Na Figura 1, o vetor $\vec{R}$ é o resultado da soma do vetor vertical $\vec{a}$ com o vetor horizontal $\vec{b}$. O módulo de $\vec{R}$ pode ser calculado através de

\begin{equation} \lvert \vec{R} \rvert = \sqrt{ {\lvert \vec{a} \rvert}^2 + \lvert \vec{b} \rvert ^2 } \pt \end{equation}

Soma de dois vetores concorrentes

De maneira geral, quando estamos somando dois vetores de direções quaisquer, podemos recorrer à lei dos cossenos.

Figura 2. Soma de dois vetores concorrentes.

Na Figura 2, o vetor $\vec{R}$ é o resultado da soma dos vetores $\vec{a}$ e $\vec{b}$ que formam um ângulo $\alpha$ entre si. O módulo de $\vec{R}$, nesse caso, pode ser calculado através de

\begin{equation} \lvert \vec{R} \rvert = \sqrt{\lvert \vec{a} \rvert^2 + \lvert \vec{b} \rvert^2 - 2 \lvert \vec{a} \rvert \lvert \vec{b} \rvert \cos{\alpha}} \pt \end{equation}

Palavras finais

Você pode fixar o que for abordado neste resumo resolvendo a lista de exercícios sobre soma vetorial. Bons estudos.

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