Macetes algébricos (resumo nível médio)

Neste resumo veremos um pouco de matemágica: macetes e simplificações que podem facilitar as contas e reduzir expressões.

Evidenciação

Graças às propriedades da adição e da multiplicação, podemos colocar números em evidência. Isto significa que, se um número multiplica dois ou mais números, podemos evidenciá-lo colocando-o para fora de um parênteses. Observe:

\begin{equation} a \cdot b + a \cdot c = a \cdot ( b + c ) \, \textrm{.} \end{equation}
Exemplo 1

Na expressão $3 \cdot 2 + 3x$, vamos colocar o número $3$ em evidência:

$$ 3 \cdot 2 + 3x = 3(2+x) \, \textrm{.}$$
Exemplo 2

Na expressão $5x + 10$, vamos colocar o número $5$ em evidência:

\begin{align*} 5x + 10 &= 5x + 5 \cdot 2 \\ &= 5(x+2) \, \textrm{.} \end{align*}
Exemplo 3

Na expressão $ 2y - 2 + x$, vamos colocar o número $2$ em evidência:

$$ 2y - 2 + x = 2(y-1)+x \, \textrm{.} $$
Exemplo 4

Em $\frac{6}{5} + \frac{2x}{5}$, vamos tentar reduzir a expressão colocando algum número em evidência:

\begin{align*} \frac{6}{5} + \frac{2x}{5} &= 2 \Big( \frac{3}{5}+\frac{x}{5} \Big) \\ &= 2 \Big( \frac{3+x}{5} \Big) \\ &= \frac{2}{5}(3+x) \, \textrm{.} \end{align*}

E, de maneira contrária, um número que está em evidência pode ser distribuído dentro do parênteses.

Exemplo 5

Em $7(2-x)$, vamos distribuir o número $7$ dentro do parênteses:

\begin{align*} 7(2-x) &= 7 \cdot 2 - 7x \\ &= 14 - 7x \, \textrm{.} \end{align*}

Lembre-se que você deve sempre obedecer a ordem das operações aritméticas.

Simplificação

Simplificar pode ser entendido como reduzir expressões sem explicitar os passos. Observe os exemplos que seguem.

Exemplo 6

Como exemplo de simplificação, reduzirei a fração $12/8$ dividindo ambos, numerador e denominador, por $4$:

\begin{align*} \frac{12}{8} &= \frac{12:4}{8:4} \\ &= \frac{3}{2} \\ &= 1{,}5 \, \textrm{.} \end{align*}
Exemplo 7

Neste exemplo, reduzirei a expressão $2 \cdot \frac{3 \cdot 7 }{7 \cdot 2}$ operando divisões entre os números que se repetem no numerador e no denominador:

\begin{align*} \require{cancel} 2 \cdot \frac{3 \cdot 7 }{7 \cdot 2} &= \cancel{2} \cdot \frac{3 \cdot 7}{7 \cdot \cancel{2}} \\ &= \frac{3 \cdot 7}{7} \\ &= \frac{3 \cdot \cancel{7}}{\cancel{7}} \\ &= 3 \, \textrm{.} \end{align*}

No Exemplo 7 eu utilizei um traço em cima dos números para indicar que estou dividindo um pelo outro, isso também é conhecido como cancelar ou cortar.

Andar com a vírgula na multiplicação

Na multiplicação, podemos andar com a vírgula de um número para um lado desde que andemos com a vírgula do outro número para o lado oposto.

Exemplo 8

Como exemplo, vamos caminhar com a vírgula na operação $15{,}37 \cdot 40{,}13$:

\begin{align*} 15{,}37 \cdot 40{,}13 &= 1{,}537 \cdot 401{,}3 \\ &= 15{,}37 \cdot 40{,}13 \\ &= 153{,}7 \cdot 4{,}013 \, \textrm{.} \end{align*}

Quando não há mais casas disponíveis, completamos com zeros.

Exemplo 9

Como exemplo, vamos continuar caminhando com a vírgula na operação $15{,}37 \cdot 40{,}13$:

\begin{align*} 15{,}37 \cdot 40{,}13 &= 0{,}1537 \cdot 4{.}013 \\ &= 15{,}37 \cdot 40{,}13 \\ &= 0{,}01537 \cdot 40{.}130 \, \textrm{.} \end{align*}

Andar com a vírgula na divisão

Já na divisão, podemos movimentar a vírgula de um número para um lado desde que andemos com a vírgula do outro número para o mesmo lado. Completamos com zeros se não houver mais casas disponíveis.

Exemplo 10

Como exemplo, vamos andar com a vírgula na operação $46{,}1/2{,}17$:

\begin{align*} \frac{46{,}1}{2{,}17} &= \frac{4{,}61}{0{,}217} \\ &= \frac{461{,}0}{21{,}7} \\ &= \frac{4{.}610}{217} \, \textrm{.} \end{align*}

Multiplicação por 10, 100, 1.000, ...

Ao multiplicarmos por $10$, $100$, $1{.}000$, etc, podemos simplesmente incluir zeros no final do número a ser multiplicado.

Exemplo 11

Vamos multiplicar $23$ por $10$:

\begin{equation*} 10 \cdot 23 = 230 \, \textrm{.} \end{equation*}
Exemplo 12

Vamos multiplicar $23$ por $1{.}000$:

\begin{equation*} 1{.}000 \cdot 23 = 23{.}000 \, \textrm{.} \end{equation*}

Se houver vírgulas, movimentamos ela para a direita, uma casa para cada zero.

Exemplo 13

Vamos multiplicar $7{,}52$ por $10$:

\begin{equation*} 10 \cdot 7{,}52 = 75{,}2 \, \textrm{.} \end{equation*}
Exemplo 14

Vamos multiplicar $7{,}52$ por $100$:

\begin{equation*} 100 \cdot 7{,}52 = 752 \, \textrm{.} \end{equation*}
Exemplo 15

Vamos multiplicar $7{,}52$ por $1{.}000$:

\begin{equation*} 1{.}000 \cdot 7{,}52 = 7{.}520 \, \textrm{.} \end{equation*}
Exemplo 16

Vamos multiplicar $0{,}081$ por $100$:

\begin{equation*} 100 \cdot 0{,}081 = 8{,}1 \, \textrm{.} \end{equation*}

Divisão por 10, 100, 1.000, ...

Ao dividirmos por $10$, $100$, $1{.}000$, etc, podemos remover (cancelar) zeros do número a ser dividido.

Exemplo 17

Vamos dividir $45{.}700$ por $10$:

\begin{align*} \require{cancel} \frac{45{.}700}{10} &= \frac{45{.}70\cancel{0}}{\cancel{10}} \\ &= 4{.}570 \, \textrm{.} \end{align*}
Exemplo 18

Vamos dividir $45{.}700$ por $100$:

\begin{align*} \require{cancel} \frac{45{.}700}{100} &= \frac{45{.}7\cancel{00}}{\cancel{100}}\\ &= 457 \, \textrm{.} \end{align*}

E quando não há mais zeros disponíveis, caminhamos com a vírgula para a esquerda.

Exemplo 19

Vamos dividir $92{,}4$ por $10$:

\begin{equation*} \frac{92{,}4}{10} = 9{,}24 \, \textrm{.} \end{equation*}
Exemplo 20

Vamos dividir $92{,}4$ por $100$:

\begin{equation*} \frac{92{,}4}{100} = 0{,}924 \, \textrm{.} \end{equation*}
Exemplo 21

Vamos dividir $92{,}4$ por $1{.}000$:

\begin{equation*} \frac{92{,}4}{1{.}000} = 0{,}0924 \, \textrm{.} \end{equation*}

Palavras finais

Talvez para você o assunto abordado aqui pareça fácil e irrelevante, mas tenho certeza de que ele facilita e agiliza a resolução de problemas de física. De qualquer forma, na dúvida, ignore esses atalhos e faça do jeito que você aprendeu, 😉.



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