Macetes algébricos - Resumo Nível Médio

É hora de vermos um pouco de matemágica: macetes e simplificações que podem facilitar as contas e reduzir expressões.

Evidenciação

Graças às propriedades da adição e da multiplicação, podemos colocar números em evidência. Isto significa que, se um número multiplica dois ou mais números, podemos evidenciá-lo colocando para fora de um parênteses. Observe:

\begin{equation} a \cdot b + a \cdot c = a \cdot ( b + c ) \end{equation}
Exemplo 1
$$ 3 \cdot 2 - 3x + 3 = 3(2+x+1) $$
Exemplo 2
$$ 5x + 10 = 5x + 5 \cdot 2 = 5(x+2) $$
Exemplo 3
$$ 2x + 2y - 3 = 2(x+y)-3 $$

E, de maneira contrária, um número que está em evidência pode ser distribuído dentro do parênteses.

Exemplo 4
$$ 7(2-x) = 7 \cdot 2 - 7x $$

Simplificação

Simplificar pode ser entendido como reduzir expressões sem explicitar os passos. Observe os exemplos que seguem.

Exemplo 5

Neste exemplo, reduzirei a fração dividindo ambos, numerador e denominador, por 4:

$$ \frac{12}{8} = \frac{12:4}{8:4} = \frac{3}{2} $$
Exemplo 6

Neste exemplo, reduzirei a fração dividindo os números que se repetem no numerador e no denominador, isto também é conhecido como cancelar ou cortar.

$$ \require{cancel} 2 \cdot \frac{3 \cdot 7 }{7 \cdot 2} = \cancel{2} \cdot \frac{3 \cdot \cancel{7}}{\cancel{7} \cdot \cancel{2}} = 3 $$

Andar com a vírgula na multiplicação

Na multiplicação, podemos andar com a vírgula para um sentido desde que andemos com a vírgula do outro número em sentido oposto.

Exemplo 7
$$ 15,37 \cdot 40,13 = 1,537 \cdot 401,3 $$
Exemplo 8
$$ 15,37 \cdot 40,13 = 153,7 \cdot 4,013 $$

Quando não há mais casas disponíveis, completamos com zeros.

Exemplo 9
$$ 15,37 \cdot 40,13 = 0,1537 \cdot 4013 $$
Exemplo 10
$$ 15,37 \cdot 40,13 = 0,01537 \cdot 40130 $$

Andar com a vírgula na divisão

Já na divisão, podemos movimentar a vírgula de um número desde que andemos com a vírgula do outro número no mesmo sentido. Completamos com zeros se não houver mais casas disponíveis.

Exemplo 11
$$ \frac{46,1}{2,17} = \frac{4,61}{0,217} $$
Exemplo 12
$$ \frac{46,1}{2,17} = \frac{461,0}{21,7} $$
Exemplo 13
$$ \frac{46,1}{2,17} = \frac{4610}{217} $$

Multiplicação por 10, 100, 1.000, ...

Ao multiplicarmos por 10, 100, 1.000, etc, podemos simplesmente incluir seus zeros no final do número a ser multiplicado.

Exemplo 14
$$ 10 \cdot 23 = 230 $$
Exemplo 15
$$ 1000 \cdot 23 = 23000 $$
Exemplo 16
$$ 10 \cdot 7,52 = 75,2 $$
Exemplo 17
$$ 100 \cdot 7,52 = 752 $$
Exemplo 18
$$ 1000 \cdot 7,52 = 7520 $$
Exemplo 19
$$ 100 \cdot 0,081 = 8,1 $$

Divisão por 10, 100, 1.000, ...

Ao dividirmos por 10, 100, 1.000, etc, removemos a mesma quantidade de zeros.

Exemplo 20
$$ \require{cancel} \frac{45700}{10} = \frac{4570\cancel{0}}{\cancel{10}} = 4570 $$
Exemplo 21
$$ \require{cancel} \frac{45700}{100} = \frac{457\cancel{00}}{\cancel{100}} = 457 $$

E quando não há mais zeros disponíveis, caminhamos com a vírgula para a esquerda.

Exemplo 22
$$ \frac{92,4}{10} = 9,24 $$
Exemplo 23
$$ \frac{92,4}{100} = 0,924 $$
Exemplo 24
$$ \frac{92,4}{1000} = 0,0924 $$


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