Macetes algébricos - Resumo Nível Médio

Chegou a hora de vermos um pouco de matemágica: macetes e simplificações que podem facilitar as contas e reduzir expressões.

Evidenciação

Graças às propriedades da adição e da multiplicação, podemos colocar números em evidência. Isto significa que, se um número multiplica dois ou mais números, podemos evidenciá-lo colocando-o para fora de um parênteses. Observe:

\begin{equation} a \cdot b + a \cdot c = a \cdot ( b + c ) \end{equation}
Exemplo 1
\begin{equation*} 3 \cdot 2 - 3x + 3 = 3(2+x+1) \end{equation*}
Exemplo 2
\begin{equation*} 5x + 10 = 5x + 5 \cdot 2 = 5(x+2) \end{equation*}
Exemplo 3
\begin{equation*} 2x + 2y - 3 = 2(x+y)-3 \end{equation*}

E, de maneira contrária, um número que está em evidência pode ser distribuído dentro do parênteses.

Exemplo 4
\begin{equation*} 7(2-x) = 7 \cdot 2 - 7x \end{equation*}

Simplificação

Simplificar pode ser entendido como reduzir expressões sem explicitar os passos. Observe os exemplos que seguem.

Exemplo 5

Neste exemplo, reduzirei a fração dividindo ambos, numerador e denominador, por 4:

\begin{equation*} \frac{12}{8} = \frac{12:4}{8:4} = \frac{3}{2} \end{equation*}
Exemplo 6

Neste exemplo, reduzirei a fração dividindo os números que se repetem no numerador e no denominador, isto também é conhecido como cancelar ou cortar.

\begin{equation*} \require{cancel} 2 \cdot \frac{3 \cdot 7 }{7 \cdot 2} = \cancel{2} \cdot \frac{3 \cdot \cancel{7}}{\cancel{7} \cdot \cancel{2}} = 3 \end{equation*}

Andar com a vírgula na multiplicação

Na multiplicação, podemos andar com a vírgula para um sentido desde que andemos com a vírgula do outro número em sentido oposto.

Exemplo 7
\begin{equation*} 15,37 \cdot 40,13 = 1,537 \cdot 401,3 \end{equation*}
Exemplo 8
\begin{equation*} 15,37 \cdot 40,13 = 153,7 \cdot 4,013 \end{equation*}

Quando não há mais casas disponíveis, completamos com zeros.

Exemplo 9
\begin{equation*} 15,37 \cdot 40,13 = 0,1537 \cdot 4013 \end{equation*}
Exemplo 10
\begin{equation*} 15,37 \cdot 40,13 = 0,01537 \cdot 40130 \end{equation*}

Andar com a vírgula na divisão

Já na divisão, podemos movimentar a vírgula de um número desde que andemos com a vírgula do outro número no mesmo sentido. Completamos com zeros se não houver mais casas disponíveis.

Exemplo 11
\begin{equation*} \frac{46,1}{2,17} = \frac{4,61}{0,217} \end{equation*}
Exemplo 12
\begin{equation*} \frac{46,1}{2,17} = \frac{461,0}{21,7} \end{equation*}
Exemplo 13
\begin{equation*} \frac{46,1}{2,17} = \frac{4610}{217} \end{equation*}

Multiplicação por 10, 100, 1.000, ...

Ao multiplicarmos por 10, 100, 1.000, etc, podemos simplesmente incluir seus zeros no final do número a ser multiplicado.

Exemplo 14
\begin{equation*} 10 \cdot 23 = 230 \end{equation*}
Exemplo 15
\begin{equation*} 1000 \cdot 23 = 23000 \end{equation*}
Exemplo 16
\begin{equation*} 10 \cdot 7,52 = 75,2 \end{equation*}
Exemplo 17
\begin{equation*} 100 \cdot 7,52 = 752 \end{equation*}
Exemplo 18
\begin{equation*} 1000 \cdot 7,52 = 7520 \end{equation*}
Exemplo 19
\begin{equation*} 100 \cdot 0,081 = 8,1 \end{equation*}

Divisão por 10, 100, 1.000, ...

Ao dividirmos por 10, 100, 1.000, etc, removemos a mesma quantidade de zeros.

Exemplo 20
\begin{equation*} \require{cancel} \frac{45700}{10} = \frac{4570\cancel{0}}{\cancel{10}} = 4570 \end{equation*}
Exemplo 21
\begin{equation*} \require{cancel} \frac{45700}{100} = \frac{457\cancel{00}}{\cancel{100}} = 457 \end{equation*}

E quando não há mais zeros disponíveis, caminhamos com a vírgula para a esquerda.

Exemplo 22
\begin{equation*} \frac{92,4}{10} = 9,24 \end{equation*}
Exemplo 23
\begin{equation*} \frac{92,4}{100} = 0,924 \end{equation*}
Exemplo 24
\begin{equation*} \frac{92,4}{1000} = 0,0924 \end{equation*}


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