Regra de três - Resumo Nível Médio

Neste resumo abordarei o método mais importante da sua vida: a regra de três!

A regra de três é utilizada sempre que, dado dois valores, desejamos descobrir o valor de um terceiro. Por exemplo, sabemos que 1 lata de refrigerante possui 0,35 litros; 12 latas de refrigerante possuem quantos litros?

Regra de três direta

Utilizaremos a regra de três direta sempre que as grandezas forem diretamente proporcionais. Para calcular a regra de três direta, devemos separar os dados em colunas e utilizar as setas para indicar a proporcionalidade. No caso dos refrigerantes:

\begin{matrix} \uparrow \text{latas} & \uparrow \text{litros} \end{matrix}

Agora preenchemos a linha de baixo com os valores conhecidos: "1 lata de refrigerante possui 0,35 litros".

\begin{matrix} \uparrow \text{latas} & \uparrow \text{litros} \\ 1 & 0,35 \end{matrix}

Seguimos preenchendo mais uma linha com os valores questionados: "12 latas possuem quantos litros?"

\begin{matrix} \uparrow \text{latas} & \uparrow \text{litros} \\ 1 & 0,35 \\ 12 & x(?) \end{matrix}

O cálculo se dá através da multiplicação em cruz, ou seja, multiplicamos 1 por $x$ e igualamos à multiplicação de 12 por 0,35.

\begin{matrix} 1 & \ & 0,35 \\ \ & \times & \ \\ 12 & \ & x \end{matrix} \begin{equation*} 1 \cdot x = 12 \cdot 0,35 \end{equation*}

E portanto, basta resolvermos a equação:

\begin{equation*} x = 4,2 \ \text{litros.} \end{equation*}
Exemplo 1

Se 3% da população de uma cidade equivale a 10.200 pessoas, qual a população dessa cidade?

Na porcentagem, 100% equivale ao todo, neste caso, à população total:

\begin{matrix} \uparrow \text{pessoas} & \uparrow \text{porcentagem} \\ 10200 & 3 \\ x(?) & 100 \end{matrix}

Quanto maior a população, maior a porcentagem; então, são diretamente proporcionais. Multiplicando em cruz:

\begin{equation*} 10200 \cdot 100 = x \cdot 3 \\ 1020000 = 3x \\ x = \frac{1020000}{3} \\ x = 340000 \text{.} \end{equation*}

Portanto, a população dessa cidade é de 340.000 pessoas.

Regra de três inversa

Utilizaremos a regra de três inversa sempre que as grandezas forem inversamente proporcionais. Para calcular a regra de três inversa, é feito o mesmo procedimento de separação de dados em colunas, mas a multiplicação é em linha, ou seja, para cada linha, multiplica-se um valor pelo valor do seu vizinho e iguala-se os resultados.

Exemplo 2

Numa construtora, em média, 4 funcionários conseguem terminar um serviço em 12 horas. Em quantas horas 10 funcionários terminarão o mesmo serviço?

Separando os dados em colunas, temos:

\begin{matrix} \uparrow \text{funcionários} & \downarrow \text{horas} \\ 4 & 12 \\ 10 & x(?) \end{matrix}

As grandezas são inversamente proporcionais, devemos multiplicar em linha:

\begin{matrix} 4 & — & 12 \\ 10 & — & x \end{matrix} \begin{equation*} 4 \cdot 12 = 10 \cdot x \end{equation*}

Com isso,

\begin{equation*} x = 4,8 \ \text{horas.} \end{equation*}

Portanto, 10 funcionários terminarão o mesmo serviço em 4,8 horas.



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