Na física, é através de gráficos e curvas que podemos ter uma noção visual de fenômenos e seus comportamentos. Veremos mais sobre isso nesse resumo de nível médio.
Definição
Um gráfico no plano cartesiano é uma ilustração que permite visualizarmos o comportamento de equações e funções.
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Figura 1. Gráfico de uma certa função |
A Figura 1 é um exemplo de gráfico que relaciona a velocidade $v$ de um certo objeto com o tempo $t$ decorrido.
Plano cartesiano
Ao fixarmos dois eixos perpendiculares,
$x$ e
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Figura 2. Exemplo de um gráfico $x \times y$ com destaque a um ponto $\mathrm{P}$
definido pelo par ordenado |
Na Figura 2, o ponto $\mathrm{P}$ da curva está definido pelo par ordenado
Inclinação da curva
Em um gráfico qualquer, a inclinação da curva na região de um determinado ponto nos informa a variação (velocidade de crescimento ou decrescimento) da curva. Regiões com inclinações mais acentuadas possuem maior variação.
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Figura 3. Gráfico no plano $x \times y$ de uma função (em azul) com destaque a inclinações crescentes no entorno de dois pontos.
A região ao redor do ponto |
Na Figura 3 eu ilustrei uma curva num plano $x \times y$ e destaquei dois pontos distintos, $\mathrm{P}$ e
Podemos ver, ainda na Figura 3, que as duas retas tangentes são crescentes,
pois estão inclinadas para cima.
A reta tangente em $\mathrm{P}$ é menos íngreme — menos inclinada —
que a reta tangente em
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Figura 4. Gráfico no plano $x \times y$ de uma função (em azul) com destaque a inclinações decrescentes no entorno de dois pontos.
A região ao redor do ponto |
Em contrapartida, na Figura 4 eu ilustrei uma outra curva num plano $x \times y$ e
destaquei dois pontos, $\mathrm{P}^\prime$ e
De forma geral, a inclinação de uma reta está relacionada com a divisão do eixo vertical pelo horizontal.
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Figura 5. Reta tangente (em preto) à curva (em azul) de uma função num determinado ponto (em vermelho).
O comprimento $\Delta y$ é o cateto oposto e o $\Delta x$ é o cateto adjacente ao ângulo de inclinação |
Considere uma reta tangente a uma curva qualquer num plano
onde $\Delta y$ é o cateto oposto e $\Delta x$ é o cateto adjacente ao ângulo
Área sob a curva
A área abaixo de uma curva nos fornece um produto entre os eixos daquela região.
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Figura 6. Área $A$ (em verde) sob uma reta (em preto) num plano |
Uma região $A$ formada sob um segmento de reta, como na Figura 6, é a área de um triângulo,
\begin{equation} \begin{split} A &= \frac{\Delta y \, \Delta x}{2} \\ &= \frac{(y_1-y_0)(x_1-x_0)}{2} \, \textrm{,} \end{split} \end{equation}
onde $\Delta x$ é a base e $\Delta y$ é a altura do triângulo.
Tal raciocínio é particularmente interessante uma vez que, para estimarmos
o valor do produto
Exemplos de curvas
Algumas funções possuem curvas bem conhecidas. Nos tópicos a seguir destaquei alguns comportamentos interessantes.
Funções constantes
Uma função constante não depende da variável e, por isso, sua curva é caracterizada por uma reta horizontal.
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Figura 7. Gráfico de uma função constante $y(x)=c$ num plano |
Na Figura 7 eu ilustrei o comportamento de uma função constante $f(x)=c$ num plano
Funções afins
O gráfico de uma função afim é composto por uma reta inclinada para cima (crescente) ou para baixo (decrescente).
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Figura 8. Gráfico de uma função afim crescente $y(x)=bx+c$ num plano |
Na Figura 8 eu ilustrei o comportamento de uma função afim crescente $f(x)=bx+c$ num plano
Se o ângulo de inclinação for positivo,
Observe que, por ser uma reta, a tangente em qualquer ponto da curva é a própria curva.
A curva de uma função afim cruza o eixo horizontal em
Funções quadráticas
Uma função quadrática possui curva de formato parecido com a letra U.
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Figura 9. Gráfico de uma função quadrática $f(x)=ax^2+bx+c$ com concavidade para cima num plano |
Na Figura 9 eu ilustrei o comportamento de uma função quadrática $f(x)=ax^2+bx+c$ com concavidade para cima num plano
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Figura 10. Gráfico de uma função quadrática $f(x)=ax^2+bx+c$ com concavidade para baixo num plano |
Em ambos os casos de concavidade, a curva cruza o eixo horizontal nas raízes — nos zeros — das funções,
$x=x_1$ e
Palavras finais
Com toda a certeza eu não tratei aqui de todos os casos possíveis, mas creio que esse conteúdo seja o suficiente para que você possa prosseguir. Bons estudos!
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