Interpretação gráfica - Resumo Nível Médio

Um gráfico no plano cartesiano é uma ilustração que permite visualizarmos o comportamento de equações e funções.

Figura 1. Gráfico de uma função v(t).

A Figura 1 é um exemplo de gráfico v×t que relaciona a velocidade de um objeto com o tempo decorrido.

O plano cartesiano y×x

Ao fixarmos dois eixos perpendiculares, x e y, qualquer ponto dentro da região formada por esses eixos pode ser representado por um par de valores, também chamado de par ordenado.

Figura 2. Ponto P definido pelo par ordenado (3,5).

Na Figura 2, o ponto P está definido pelo par ordenado (3,5) onde 3 corresponde ao eixo x e 5 ao eixo y. Ou seja, para x = 3, temos y = 5.

Comportamento

A curva de um gráfico, em geral, pode ter três comportamentos distintos.

Figura 3. Curva com três comportamentos distintos.

Na figura 3, o segmento I possui um comportamento crescente: conforme a variável x aumenta, y também aumenta. Já o trecho II possui comportamento decrescente: y diminui à medida que x aumenta. Por fim, o segmento III é constante: y não varia.

A inclinação da curva

Em um gráfico y×x, a inclinação da curva nos mostra a variação (velocidade de crescimento ou decrescimento) de y com relação a x. Curvas com inclinação mais acentuada possuem maior variação.

Figura 4. Curvas com diferentes inclinações.

Na Figura 4 temos duas curvas decrescentes em um mesmo gráfico. A curva B está menos inclinada com relação à A, e por isso, está decrescendo mais devagar que a A.

Quando a curva possuir um comportamento não linear, como na Figura 2, a inclinação em um ponto pode ser obtida traçando-se uma reta que tangencia a curva naquele ponto.

Figura 5. Inclinação da tangente em um ponto.

Na Figura 5, a reta tangente em Q está mais inclinada que a reta tangente em P. Isto quer dizer que y cresce mais rapidamente em Q do que em P.

Dado um gráfico como o da Figura 6, o ângulo de inclinação α pode ser calculado através da relação trigonométrica

\begin{equation} \tan{\alpha} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_1-y_0}{x_1-x_0} \end{equation}

Figura 6. Ângulo de inclinação de uma reta.

Na região onde se calculou o ângulo, a curva será crescente se α > 0; decrescente se α < 0; e constante se α = 0.

A área sob a curva

A área abaixo da curva nos fornece um produto entre os eixos daquela região. Observe, como exemplo, o caso de uma reta inclinada:

Figura 7. Área sob a curva.

A região formada sob o segmento de reta é a área de um triângulo retângulo, assim

\begin{equation} \text{A} = \frac{\Delta y \Delta x}{2} = \frac{(y_1-y_0)(x_1-x_0)}{2} \text{.} \end{equation}

Este tipo de raciocínio é particularmente interessante uma vez que, para estimarmos o valor desse produto, basta analisarmos a área sob a curva.

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