Interpretação gráfica (resumo nível médio)

Na física, é através de gráficos e curvas que podemos ter uma noção visual de fenômenos e seus comportamentos. Veremos mais sobre isso nesse resumo de nível médio.

Definição

Um gráfico no plano cartesiano é uma ilustração que permite visualizarmos o comportamento de equações e funções.

Figura 1. Gráfico de uma certa função $v(t)$. O eixo vertical representa $v$, o eixo horizontal representa $t$ e a curva em azul mostra o comportamento da função $v(t)$. A presença da grade de fundo (em cinza) é para facilitar a visualização.

A Figura 1 é um exemplo de gráfico que relaciona a velocidade $v$ de um certo objeto com o tempo $t$ decorrido.

Plano cartesiano

Ao fixarmos dois eixos perpendiculares, $x$ e $y$, por exemplo, qualquer ponto dentro da região formada por tais eixos pode ser representado por um par de valores, também chamado de par ordenado.

Figura 2. Exemplo de um gráfico $x \times y$ com destaque a um ponto $\mathrm{P}$ definido pelo par ordenado $(4,3)$. As linhas tracejadas (em preto) foram traçadas para facilitar a localização dos valores do par ordenado.

Na Figura 2, o ponto $\mathrm{P}$ da curva está definido pelo par ordenado $(4,3)$, onde $4$ corresponde ao eixo $x$ e $3$ ao eixo $y$. Ou seja, para $x=4$, temos $y=3$, isto é, $y(4)=3$. Ainda, o plano formado pelos eixos é comumente chamado de plano $x \times y$, ou simplesmente $xy$, e o ponto $(0,0)$ onde os eixos se encontram é chamado de origem.

Inclinação da curva

Em um gráfico qualquer, a inclinação da curva na região de um determinado ponto nos informa a variação (velocidade de crescimento ou decrescimento) da curva. Regiões com inclinações mais acentuadas possuem maior variação.

Figura 3. Gráfico no plano $x \times y$ de uma função (em azul) com destaque a inclinações crescentes no entorno de dois pontos. A região ao redor do ponto $\mathrm{P}$ (vermelho) possui inclinação crescente menos acentuada que a região ao redor do ponto $\mathrm{Q}$ (verde).

Na Figura 3 eu ilustrei uma curva num plano $x \times y$ e destaquei dois pontos distintos, $\mathrm{P}$ e $\mathrm{Q}$. Para cada ponto eu tracei uma reta (em preto) que tangencia a curva — encosta na curva. Tal reta, chamada de reta tangente, nos indica a inclinação da curva na região de um ponto.

Podemos ver, ainda na Figura 3, que as duas retas tangentes são crescentes, pois estão inclinadas para cima. A reta tangente em $\mathrm{P}$ é menos íngreme — menos inclinada — que a reta tangente em $\mathrm{Q}$. É possível dizer, então, que $y$ cresce mais devagar ao redor de $\mathrm{P}$ do que ao redor de $\mathrm{Q}$.

Figura 4. Gráfico no plano $x \times y$ de uma função (em azul) com destaque a inclinações decrescentes no entorno de dois pontos. A região ao redor do ponto $\mathrm{P}^\prime$ (vermelho) possui inclinação decrescente menos acentuada que a região em volta do ponto $\mathrm{Q}^\prime$ (verde).

Em contrapartida, na Figura 4 eu ilustrei uma outra curva num plano $x \times y$ e destaquei dois pontos, $\mathrm{P}^\prime$ e $\mathrm{Q}^\prime$, cujas retas tangentes são decrescentes, pois estão inclinadas para baixo. É possível dizer, então, que $y$ decresce mais devagar ao redor de $\mathrm{P}^\prime$ do que ao redor de $\mathrm{Q}^\prime$.

De forma geral, a inclinação de uma reta está relacionada com a divisão do eixo vertical pelo horizontal.

Figura 5. Reta tangente (em preto) à curva (em azul) de uma função num determinado ponto (em vermelho). O comprimento $\Delta y$ é o cateto oposto e o $\Delta x$ é o cateto adjacente ao ângulo de inclinação $\alpha$.

Considere uma reta tangente a uma curva qualquer num plano $x \times y$, como a da Figura 5. O ângulo de inclinação $\alpha$ da reta tangente pode ser diretamente calculado através de razões trigonométricas:

\begin{equation} \begin{split} \tan{\alpha} &= \frac{\Delta y}{\Delta x} \\ &= \frac{y_1-y_0}{x_1-x_0} \, \textrm{,} \end{split} \end{equation}

onde $\Delta y$ é o cateto oposto e $\Delta x$ é o cateto adjacente ao ângulo $\alpha$; em outras palavras, $\tan{\alpha} \propto y/x$. Na região onde se calculou o ângulo, a curva será crescente se $\alpha \gt 0$; decrescente se $\alpha \lt 0$; e sem inclinação se $\alpha = 0$.

Área sob a curva

A área abaixo de uma curva nos fornece um produto entre os eixos daquela região.

Figura 6. Área $A$ (em verde) sob uma reta (em preto) num plano $x \times y$.

Uma região $A$ formada sob um segmento de reta, como na Figura 6, é a área de um triângulo,

\begin{equation} \begin{split} A &= \frac{\Delta y \, \Delta x}{2} \\ &= \frac{(y_1-y_0)(x_1-x_0)}{2} \, \textrm{,} \end{split} \end{equation}

onde $\Delta x$ é a base e $\Delta y$ é a altura do triângulo. Tal raciocínio é particularmente interessante uma vez que, para estimarmos o valor do produto $\Delta y \, \Delta x$, basta analisarmos a área sob a curva: quanto maior a área, maior o valor do produto, isto é, $A \propto y x$.

Exemplos de curvas

Algumas funções possuem curvas bem conhecidas. Nos tópicos a seguir destaquei alguns comportamentos interessantes.

Funções constantes

Uma função constante não depende da variável e, por isso, sua curva é caracterizada por uma reta horizontal.

Figura 7. Gráfico de uma função constante $y(x)=c$ num plano $x \times y$. A curva em azul representa o comportamento da função, ela se estende indefinidamente para ambos os lados e cruza o eixo vertical em $y=c$.

Na Figura 7 eu ilustrei o comportamento de uma função constante $f(x)=c$ num plano $x \times y$. Por se tratar de uma reta horizontal, a área abaixo da curva, até o eixo $x$, é a área de um retângulo e a tangente em qualquer ponto da curva é a própria curva. Tal curva cruza o eixo $y$ no valor do coeficiente linear da função constante, $c$.

Funções afins

O gráfico de uma função afim é composto por uma reta inclinada para cima (crescente) ou para baixo (decrescente).

Figura 8. Gráfico de uma função afim crescente $y(x)=bx+c$ num plano $x \times y$. A curva em azul, que se estende indefinidamente para ambos os lados, cruza o eixo vertical em $y=c$ e o horizontal em $x=-c/b$.

Na Figura 8 eu ilustrei o comportamento de uma função afim crescente $f(x)=bx+c$ num plano $x \times y$. O coeficiente angular $b$ de uma função afim é sempre proporcional à tangente do ângulo $\alpha$ de inclinação,

\begin{equation} b = \tan{\alpha} \, \textrm{.} \end{equation}

Se o ângulo de inclinação for positivo, $\alpha \gt 0$, o coeficiente angular também será positivo, $b \gt 0$, e a reta será crescente; caso contrário, se $\alpha \lt 0$, $b \lt 0$ e a reta será decrescente.

Observe que, por ser uma reta, a tangente em qualquer ponto da curva é a própria curva. A curva de uma função afim cruza o eixo horizontal em $x=-c/b$. Já o valor em que a curva cruza o eixo $y$ será sempre igual ao coeficiente linear, $c$; caso $c=0$, a curva cruza a origem dos eixos e o resultado é um gráfico de uma função linear ou o gráfico de grandezas diretamente proporcionais.

Funções quadráticas

Uma função quadrática possui curva de formato parecido com a letra U.

Figura 9. Gráfico de uma função quadrática $f(x)=ax^2+bx+c$ com concavidade para cima num plano $x \times y$. A curva do gráfico (em azul) cruza o eixo horizontal nas raízes da função, $x=x_1$ e $x=x_2$, cruza o eixo vertical em $y=c$, e possui um valor mínimo $y_\textrm{min}$ em $x=\frac{-b}{2a}$.

Na Figura 9 eu ilustrei o comportamento de uma função quadrática $f(x)=ax^2+bx+c$ com concavidade para cima num plano $x \times y$. Em funções quadráticas, a concavidade será voltada para cima se o coeficiente parabólico for positivo, $a \gt 0$; nos casos em que $a \lt 0$, a concavidade será voltada para baixo, como na Figura 10.

Figura 10. Gráfico de uma função quadrática $f(x)=ax^2+bx+c$ com concavidade para baixo num plano $x \times y$. A curva do gráfico (em azul) cruza o eixo horizontal nas raízes da função, $x=x_1$ e $x=x_2$, cruza o eixo vertical em $y=c$, e possui um valor máximo $y_\textrm{max}$ em $x=\frac{-b}{2a}$.

Em ambos os casos de concavidade, a curva cruza o eixo horizontal nas raízes — nos zeros — das funções, $x=x_1$ e $x=x_2$, cruza o eixo vertical em $y=c$ e possui ou um valor de máximo ou um valor de mínimo em $x=\frac{-b}{2a}$.

Palavras finais

Com toda a certeza eu não tratei aqui de todos os casos possíveis, mas creio que esse conteúdo seja o suficiente para que você possa prosseguir. Bons estudos!



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