Interpretação gráfica - Resumo Nível Médio

Um gráfico no plano cartesiano é uma ilustração que permite visualizarmos o comportamento de equações e funções.

Figura 1. Gráfico de uma função $v(t)$.

A Figura 1 é um exemplo de gráfico $v \times t$ que relaciona a velocidade de um objeto com o tempo decorrido.

O plano cartesiano $y \times x$

Ao fixarmos dois eixos perpendiculares, $x$ e $y$, qualquer ponto dentro da região formada por esses eixos pode ser representado por um par de valores, também chamado de par ordenado.

Figura 2. Ponto P definido pelo par ordenado (3,5).

Na Figura 2, o ponto P está definido pelo par ordenado (3,5) onde 3 corresponde ao eixo $x$ e 5 ao eixo $y$. Ou seja, para $x=3$, temos $y=5$.

Comportamento

A curva de um gráfico, em geral, pode ter três comportamentos distintos.

Figura 3. Curva com três comportamentos distintos.

Na Figura 3, o segmento I possui um comportamento crescente: conforme a variável $x$ aumenta, $y$ também aumenta. Já o trecho II possui comportamento decrescente: $y$ diminui à medida que $x$ aumenta. Por fim, o segmento III é constante: $y$ não varia.

A inclinação da curva

Em um gráfico $y \times x$, a inclinação da curva nos mostra a variação (velocidade de crescimento ou decrescimento) de $y$ com relação a $x$. Curvas com inclinação mais acentuada possuem maior variação.

Figura 4. Curvas com diferentes inclinações.

Na Figura 4 temos duas curvas decrescentes em um mesmo gráfico. A curva B está menos inclinada com relação à A, e por isso, está decrescendo mais suavemente que a A.

Quando a curva possuir um comportamento não linear, como na Figura 2, a inclinação em um ponto pode ser obtida traçando-se uma reta que tangencia a curva naquele ponto.

Figura 5. Inclinação das retas tangentes aos pontos P e Q.

Na Figura 5, a reta tangente à curva no ponto Q está mais inclinada que a reta tangente à curva no ponto P. Isto quer dizer que $y$ cresce mais bruscamente em Q do que em P.

Dado um gráfico como o da Figura 6, o ângulo de inclinação $\alpha$ pode ser calculado através da relação trigonométrica

\begin{equation} \begin{split} \tan{\alpha} &= \frac{\Delta y}{\Delta x} \\ &= \frac{y_1-y_0}{x_1-x_0} \text{.} \end{split} \end{equation}

Figura 6. Ângulo de inclinação de uma reta.

Na região onde se calculou o ângulo, a curva será crescente se $\alpha > 0$; decrescente se $\alpha<0$; e constante se $\alpha = 0$.

A área sob a curva

A área abaixo da curva nos fornece um produto entre os eixos daquela região. Observe a Figura 7 como exemplo de um caso de reta inclinada.

Figura 7. Área sob a curva.

A região formada sob o segmento de reta é a área de um triângulo retângulo, assim

\begin{equation} \begin{split} \text{A} &= \frac{\Delta y \, \Delta x}{2} \\ &= \frac{(y_1-y_0)(x_1-x_0)}{2} \text{.} \end{split} \end{equation}

Este tipo de raciocínio é particularmente interessante uma vez que, para estimarmos o valor do produto $\Delta y \, \Delta x$, basta analisarmos a área sob a curva: quanto maior a área, maior o valor do produto $\Delta y \, \Delta x$.

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