Um gráfico no plano cartesiano é uma ilustração que permite visualizarmos o comportamento de equações e funções.
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Figura 1. Gráfico de uma função |
A Figura 1 é um exemplo de gráfico
O plano cartesiano $y \times x$
Ao fixarmos dois eixos perpendiculares, $x$ e
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Figura 2. Ponto P definido pelo par ordenado (3,5). |
Na Figura 2, o ponto P está definido pelo par ordenado (3,5) onde 3
corresponde ao eixo $x$ e 5 ao eixo
Comportamento
A curva de um gráfico, em geral, pode ter três comportamentos distintos.
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Figura 3. Curva com três comportamentos distintos. |
Na Figura 3, o segmento I possui um comportamento crescente: conforme a variável $x$ aumenta, $y$ também aumenta. Já o trecho II possui comportamento decrescente: $y$ diminui à medida que $x$ aumenta. Por fim, o segmento III é constante: $y$ não varia.
A inclinação da curva
Em um gráfico
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Figura 4. Curvas com diferentes inclinações. |
Na Figura 4 temos duas curvas decrescentes em um mesmo gráfico. A curva B está menos inclinada com relação à A, e por isso, está decrescendo mais suavemente que a A.
Quando a curva possuir um comportamento não linear, como na Figura 2, a inclinação em um ponto pode ser obtida traçando-se uma reta que tangencia a curva naquele ponto.
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Figura 5. Inclinação das retas tangentes aos pontos P e Q. |
Na Figura 5, a reta tangente à curva no ponto Q está mais inclinada que a reta tangente à curva no ponto P. Isto quer dizer que $y$ cresce mais bruscamente em Q do que em P.
Dado um gráfico como o da Figura 6, o ângulo de inclinação $\alpha$ pode ser calculado através da relação trigonométrica
\begin{equation} \begin{split} \tan{\alpha} &= \frac{\Delta y}{\Delta x} \\ &= \frac{y_1-y_0}{x_1-x_0} \text{.} \end{split} \end{equation}
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Figura 6. Ângulo de inclinação de uma reta. |
Na região onde se calculou o ângulo, a curva será crescente se
A área sob a curva
A área abaixo da curva nos fornece um produto entre os eixos daquela região. Observe a Figura 7 como exemplo de um caso de uma reta inclinada.
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Figura 7. Área sob a curva. |
A região formada sob o segmento de reta é a área de um triângulo retângulo, assim
\begin{equation} \begin{split} \text{A} &= \frac{\Delta y \, \Delta x}{2} \\ &= \frac{(y_1-y_0)(x_1-x_0)}{2} \text{.} \end{split} \end{equation}
Este tipo de raciocínio é particularmente interessante uma vez que, para estimarmos
o valor do produto
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