ENEM 2019 - Questão resolvida #07

(ENEM 2019) Em qualquer obra de construção civil é fundamental a utilização de equipamentos de proteção individual, tal como capacetes. Por exemplo, a queda livre de um tijolo de massa $2{,}5 \ \mathrm{kg}$ de uma altura de $5 \ \mathrm{m}$, cujo impacto contra um capacete pode durar até $0{,}5 \ \mathrm{s}$, resulta em uma força impulsiva média maior do que o peso do tijolo. Suponha que a aceleração gravitacional seja $10 \ \mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$ e que o efeito de resistência do ar seja desprezível.

A força impulsiva média gerada por esse impacto equivale ao peso de quantos tijolos iguais?

a) $2$ b) $5$ c) $10$ d) $20$ e) $50$

Vamos dividir o problema em duas situações distintas:

1. a queda livre, onde há a aceleração do tijolo; e
2. a colisão, onde ocorre a desaceleração do tijolo.

Primeiramente, observe que o movimento se dá apenas na direção vertical. De acordo, definiremos um eixo $y$, vertical e para baixo. Dessa forma, sempre que mencionarmos um componente escalar, estaremos nos referindo a um componente escalar em $y$.

Partindo da Situação 1, como ilustrado na Figura 1, sejam $v_{0y} = 0$ o componente escalar da velocidade inicial do tijolo, $v_y$ o da velocidade com que ele atinge o capacete, $a_y=g$ o da sua aceleração, onde $g$ é o módulo da aceleração da gravidade, e $\Delta y = 5 \ \text{m}$ o seu deslocamento total durante a queda.

Figura 1. Situação 1: queda livre do tijolo até o encontro com o capacete.

Com essas definições, e utilizando a equação de Torricelli, podemos escrever

\begin{equation} \begin{split} v_y^2 &= v_{0y}^2 + 2 a_y \Delta y \\ &= 2 g \Delta y \vg \end{split} \end{equation}

e então, extrair a raiz quadrada para encontrar a velocidade com que o tijolo atinge o capacete:

\begin{equation} \begin{split} v_y &= \pm \sqrt{ 2 g \Delta y} \\ &= + \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 5} \\ &= \sqrt{100} \\ &= 10 \ \mathrm{m}/\mathrm{s} \vg \end{split} \end{equation}

onde o sinal de mais foi escolhido pois sabemos, de acordo com a definição do eixo $y$, que essa velocidade é positiva.

Agora, conhecido o valor da velocidade com que o tijolo atinge o capacete, podemos partir para a Situação 2 para averiguar a força impulsiva no capacete. Faremos isso assumindo que a colisão é inelástica, ou seja, que após atingir o capacete, o tijolo é desacelerado até o fim do processo, terminando com velocidade final nula. Na realidade, tal idealização não ocorreria, já que ambos, capacete e tijolo, possivelmente sofreriam deformações ou se partiriam.

Figura 2. Situação 2: representações da colisão inelástica do tijolo com o capacete no início do impacto (à esquerda) e no final do impacto (à direita).

Sejam agora então, respectivamente, $m$ e $a_y$ a massa e o componente escalar da aceleração do tijolo durante a colisão com o capacete, $t_{0}=0$ e $v_{0y}=10 \ \mathrm{m}/\mathrm{s}$ (obtido na Situação 1) o instante de tempo e o componente escalar da velocidade no início do impacto e $t$ e $v_y=0$ o instante de tempo e o componente escalar da velocidade ao final do impacto, como ilustrado na Figura 2. Assim, da segunda Lei de Newton, o componente escalar da força impulsiva no capacete é:

\begin{equation} \begin{split} F_y &= ma_y \\ &= m \frac{\Delta v_y}{\Delta t} \\ &= m \frac{ v_y - v_{0} }{t - t_{0}} \\ &= - m \frac{ v_{0} }{t} \pt \end{split} \end{equation}

Agora, uma vez que a massa é $m=2{,}5 \ \mathrm{kg}$ e que o tempo final do impacto é $t_2=0{,}5 \ \mathrm{s}$, dados pelo enunciado, e que $v_{0y}=10 \ \mathrm{m}/\mathrm{s}$, temos:

\begin{equation} \begin{split} F_y &= - m \frac{ v_{0} }{t} \\ &= - 2{,}5 \cdot \frac{ 10 }{0{,}5} \\ &= - 50 \ \mathrm{N} \vg \end{split} \end{equation}

onde o sinal negativo indica que o sentido vetorial dessa força é de baixo para cima.

Por fim, sabendo que o componente escalar $P_y$ do peso do tijolo é dado por sua massa multiplicada por $g$,

\begin{equation} \begin{split} P_y &= m g \\ &= 2{,}5 \cdot 10 \\ &= 25 \ \mathrm{N} \vg \end{split} \end{equation}

podemos concluir, dos resultados das Equações (4) e (5), que em módulo, $F_y$ equivale a $2 P_y$.

A título de curiosidade, qual a sua opinião sobre a duração da colisão ser de $0,5 s$? É um valor razoável?

Resposta: a.

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