Fundamentos da cinemática (resumo nível médio)

Fonte: imagem criada no Canva.

Neste resumo, dando sequência ao apresentado no resumo de cinemática escalar, introduziremos o conceito de cinemática através de uma abordagem vetorial.

Sistema de referência

Movimento é relativo, para estudá-lo, um referencial deve ser adotado.

A escolha de um referencial acontece ao especificarmos a origem de um sistema de coordenadas. Dessa forma, o sistema de coordenadas em questão é chamado de sistema de referência.

Há diversos tipos de sistema de coordenadas, mas aqui vamos nos ater ao já apresentado sistema de coordenadas cartesianas.

Ponto material

Por praticidade, frequentemente consideramos que um corpo é um objeto descrito por um único ponto no espaço. Isso permite que a análise do movimento se dê de uma forma mais simples. Tal consideração pode ser feita nos dois casos descritos a seguir.

No primeiro caso, sempre que as dimensões do corpo forem muito menores que as divisões da escala do sistema de coordenadas, é dito que o corpo é um ponto material — suas dimensões podem ser desprezadas com relação ao referencial escolhido. Um exemplo disso pode ser observado na figura abaixo. A Figura 1(a) contém uma pedra de dimensões centimétricas em um sistema de coordenadas com divisões de um centímetro. A Figura 1(b) contém a mesma pedra, mas em um sistema de coordenadas com divisões de um metro; nesse caso, a pedra se apresenta muito pequena e pode ser representada por um ponto (em vermelho) — um ponto material.

Figura 1. Pedra com dimensões centimétricas de acordo com sistemas de coordenadas com divisões de um centímetro em (a) e com divisões de um metro em (b). O ponto vermelho representa a pedra como um ponto material.

No segundo caso, podemos ignorar as dimensões de um corpo (e seu comportamento atribuído a seu tamanho não desprezível) para estudar o movimento do seu centro de massa. O centro de massa é um ponto hipotético que se movimenta como se toda a massa do corpo estivesse concentrada nele ^[1].

Animação 1. Corpo executando um movimento complicado no espaço. Seu centro de massa (ponto em vermelho) executa um movimento mais simples de subida e descida.

Na Animação 1, vemos um corpo se movimentando no espaço. Apesar de seu movimento ser de difícil descrição matemática, seu centro de massa, representado pelo ponto vermelho, executa um movimento mais simples de subida e descida ao longo de um eixo vertical.

Posição

Dado um sistema de referência bem definido, a posição de um ponto material é a especificação do lugar onde ele se encontra.

A posição depende da origem do sistema de referência. Como exemplo, veja que, na Figura 2(a), há duas réguas fixadas no espaço. Se utilizarmos a régua A para efetuarmos medidas, a pedra, representada pelo ponto material C, estará a dois metros da origem (o zero da régua). Já, se utilizarmos a régua B, a pedra estará mais distante da origem, a quatro metros. Ao adotarmos o eixo horizontal $x$ para medirmos tal posição, como na Figura 2(b), o ponto material C terá posição $x=2 \ \text{m}$, se adotarmos um sistema de coordenadas com origem $\text{O}_\text{A}$; ou $x=4 \ \text{m}$, se adotarmos um sistema de coordenadas com origem $\text{O}_\text{B}$.

Figura 2. Duas origens distintas para uma medida de posição.

Em duas dimensões, adotando-se o plano cartesiano, a posição de um ponto material será dada pelo par ordenado do ponto, isto é, pelas coordenadas $x$ e $y$ do ponto material.

Deslocamento

O deslocamento é um vetor que parte de uma posição inicial e aponta para uma posição final. O módulo do vetor deslocamento representa a distância entre as posições e a sua orientação (direção e sentido) indica a orientação de um suposto movimento. Sua unidade no SI é metro ($\textrm{m}$).

Se um corpo (definido por um ponto material) que se movimenta ao longo do eixo $x$ esteve inicialmente numa posição $x_0$ e posteriormente passou a estar numa posição $x$, o componente ao longo do eixo $x$ de seu vetor deslocamento é calculado como

\begin{equation} \Delta x = x-x_0 \ \text{.} \end{equation}

Da mesma forma, se o movimento se dá ao longo do eixo $y$, onde $y_0$ é a posição inicial e $y$ a final, o componente no eixo $y$ do vetor deslocamento é

\begin{equation} \Delta y = y-y_0 \ \text{.} \end{equation}

Assim, se um deslocamento, representado pelo vetor $\vec{d}$, se dá em duas dimensões, podemos recorrer à decomposição vetorial para concluir que seu módulo é dado por

\begin{equation} d = \sqrt{\Delta x ^2 + \Delta y ^2} \ \text{,} \end{equation}

onde, como já comentado acima, $\Delta x$ e $\Delta y$ são os componentes do vetor $\vec{d}$.

Figura 3. Plano cartesiano contendo dois pontos, $\textrm{P}$ e $\textrm{Q}$. O deslocamento do ponto $\textrm{P}$ até o $\textrm{Q}$ está representado pelo vetor $\vec{d}$.

Como exemplo, na Figura 3, as coordenadas que definem a posição do ponto $\textrm{P}$ são $x=1 \ \text{m}$ e $y=2\ \text{m}$, e as coordenadas que definem a posição do ponto $\textrm{Q}$ são $x=5\ \text{m}$ e $y=4\ \text{m}$. Portanto, os componentes do vetor deslocamento $\vec{d}$ de um corpo que parte do ponto $\textrm{P}$ para chegar ao ponto $\textrm{Q}$ são $\Delta x$ $ = 5-1\ (\text{m})$ $ = 4\ \text{m}$ na horizontal e $\Delta y$ $= 4-2\ (\text{m})$ $ = 2\ \text{m}$ na vertical. Então, o módulo do vetor $\vec{d}$ é $d=\sqrt{4^2+2^2} \ (\text{m})$ $=\sqrt{20}\ (\text{m})$ $\approx 4{,}5 \ \text{m}$.

Velocidade

A velocidade média é um vetor obtido através da razão entre um deslocamento e um intervalo de tempo. Matematicamente, a velocidade média $\vec{v}_\text{m}$ de um ponto material que se deslocou $\vec{d}$ em um intervalo de tempo $\Delta t$ é

\begin{equation} \vec{v}_\text{m} = \frac{\vec{d}}{\Delta t} \, \textrm{.} \end{equation}

Seu módulo $v_\text{m}$ representa o quanto um ponto material se deslocou no intervalo de tempo e sua orientação indica as direção e sentido desse deslocamento.

Se inicialmente o móvel estava numa posição $x_0$ num instante de tempo $t_0$ e, posteriormente, sua posição passa a ser $x$ para um instante de tempo $t$, o componente em $x$ da sua velocidade média é, por definição,

\begin{equation} v_{\text{m}x} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x-x_0}{t-t_0} \, \textrm{.} \end{equation}

Analogamente, para um movimento ao longo do eixo $y$, onde o móvel estava numa posição $y_0$ num instante de tempo $t_0$ e sua posição passa a ser $y$ para um instante de tempo $t$, o componente em $y$ da sua velocidade média é

\begin{equation} v_{\text{m}y} = \frac{\Delta y}{\Delta t} = \frac{y-y_0}{t-t_0} \, \textrm{.} \end{equation}

Dessa forma, se um movimento acontece em duas dimensões, o módulo de $\vec{v}_\text{m}$ pode ser obtido através de

\begin{equation} v_{\text{m}} = \sqrt{v_{\text{m}x}^2+v_{\text{m}y}^2}. \end{equation}

Define-se a velocidade instantânea, ou simplesmente velocidade, quando $\Delta t$ é muito pequeno. A velocidade instantânea $\vec{v}$ traz informações sobre a velocidade de movimento de um móvel num dado instante de tempo $t$, e não num intervalo de tempo $\Delta t$. Se ao longo do eixo $x$ o componente da velocidade instantânea é $v_x$, e ao longo do eixo $y$ é $v_y$, o módulo da velocidade (instantânea) pode ser calculado como

\begin{equation} v = \sqrt{v_x^2+v_y^2}. \end{equation}

Quando a velocidade não varia (é a mesma para qualquer instante de tempo), $\vec{v}$ e $\vec{v}_\text{m}$ passam a ser iguais ($\vec{v}$=$\vec{v}_\text{m}$).

No SI, a unidade da velocidade (média ou instantânea) é metro por segundo ($\textrm{m/s}$).

Aceleração

A aceleração média é, por definição, a variação da velocidade em um intertvalo de tempo. Matematicamente, se no instante $t_0$ um móvel se deslocava com velocidade $\vec{v}_0$, e num dado instante $t$ ele se desloca com velocidade $\vec{v}$, sua aceleração média é

\begin{equation} \vec{a}_\text{m} = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} \, \textrm{,} \end{equation}

onde $\Delta \vec{v} = \vec{v}-\vec{v}_0$. Assim, o componente em $x$ da aceleração média pode ser escrito como

\begin{equation} a_{\text{m}x} = \frac{\Delta v_x}{\Delta t} = \frac{v_x-v_{0x}}{t-t_0} \, \text{,} \end{equation}

e o componente em $y$ como

\begin{equation} a_{\text{m}y} = \frac{\Delta v_y}{\Delta t} = \frac{v_y-v_{0y}}{t-t_0} \, \text{,} \end{equation}

de forma que o módulo de $\vec{a}_\text{m}$ pode ser expresso por

\begin{equation} a_{\text{m}} = \sqrt{a_{\text{m}x}^2+a_{\text{m}y}^2} \, \text{.} \end{equation}

A aceleração instantânea, ou simplesmente aceleração, é definida quando $\Delta t$ é muito pequeno. Nesse caso, se um ponto material possui aceleração (instantânea) $\vec{a}$ de componentes $a_x$ e $a_y$, o módulo dessa aceleração pode ser calculado através de

\begin{equation} a = \sqrt{a_x^2+a_y^2} \, \text{.} \end{equation}

Quando a aceleração não varia (é a mesma para qualquer instante de tempo), $\vec{a}$ e $\vec{a}_\text{m}$ passam a ser iguais ($\vec{a}$=$\vec{a}_\text{m}$).

Dado que aceleração (média ou instantânea) é a razão entre velocidade e tempo, sua unidade no SI é metro por segundo ao quadrado ($\textrm{m/s}^2$).

Referências

[1] CONTRIBUIDORES DA WIKIPÉDIA. Centro de massa. Wikipédia, a enciclopédia livre, 2024. Disponível em: <https://pt.wikipedia.org/wiki/Centro_de_massa>. Acesso em: 08 abr. 2014.

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