Anúncio

Unidades físicas e prefixos (resumo nível médio)

Uma balança antiga

As unidades físicas existem para podermos especificar a escala utilizada no ato de aferir uma medida. Não adianta apenas dizermos que um objeto possui massa igual a três, devemos também informar a unidade: são três gramas ou três libras?

Sistema Internacional de Unidades

O Sistema Internacional de Unidades (SI) surgiu com o objetivo de unificar e padronizar as unidades de medida através das grandezas fundamentais, essas grandezas estão apresentadas na Tabela 1.

Tabela 1. Grandezas fundamentais do SI.
Grandeza Unidade Símbolo
tempo segundo $\mathrm{s}$
comprimento metro $\mathrm{m}$
massa quilograma $\mathrm{kg}$
corrente elétrica ampère $\mathrm{A}$
temperatura kelvin $\mathrm{K}$
quantidade de substância mol $\mathrm{mol}$
intensidade luminosa candela $\mathrm{cd}$
Fonte: BIPM, O Sistema Internacional de Unidades [1].

Todas as outras grandezas são grandezas derivadas das grandezas fundamentais. Como exemplo, podemos citar a velocidade, que é a razão das grandezas comprimento e tempo; portanto, no SI, o símbolo da grandeza velocidade é $\left.\mathrm{m}\middle/\mathrm{s}\right.$. Então, se uma certa velocidade $v$ é igual a dez metros por segundo, basta escrevermos $v = 10 \ \left.\mathrm{m}\middle/\mathrm{s}\right.$.

Prefixos métricos

Os prefixos métricos aparecem do lado esquerdo dos símbolos das unidades e indicam múltiplos delas. Por exemplo, $0{,}001$ segundo pode ser representado pelo número $1$ com o prefixo $\mathrm{m}$ seguido do símbolo $\mathrm{s}$ de segundo, $\mathrm{ms}$, que pode ser lido como "um milésimo de segundo" ou "um milissegundo".

A Tabela 2 contém uma lista com alguns prefixos do SI, dentre os quais, utilizamos com muita frequência o quilo, o centi, o mili, o micro e o nano.

Tabela 2. Alguns prefixos métricos do SI.
Nome Prefixo Valor
tera $\mathrm{T}$ $10^{12}$
giga $\mathrm{G}$ $10^9$
mega $\mathrm{M}$ $10^6$
quilo $\mathrm{k}$ $10^3$
hecto $\mathrm{h}$ $10^2$
deca $\mathrm{da}$ $10^1$
deci $\mathrm{d}$ $10^{-1}$
centi $\mathrm{c}$ $10^{-2}$
mili $\mathrm{m}$ $10^{-3}$
micro $ \upmu $ $10^{-6}$
nano $\mathrm{n}$ $10^{-9}$
pico $\mathrm{p}$ $10^{-12}$
femto $\mathrm{f}$ $10^{-15}$
Fonte: BIPM, O Sistema Internacional de Unidades [1].

Abaixo você pode ver alguns exemplos de utilização.

Exemplo 1
\begin{align*} 1 \ \upmu \mathrm{m} &= 1 \times 10^{-6} \ \mathrm{m} \\ &= 0{,}000\,001 \ \mathrm{m} \end{align*}

Exemplo 2
\begin{align*} 1 \ \mathrm{ms} &= 1 \times 10^{-3} \ \mathrm{s} \\ &= 0{,}001 \ \mathrm{s} \end{align*}

Exemplo 3
\begin{align*} 1 \ \mathrm{kg} &= 1 \times 10^3 \ \mathrm{g} \\ &= 1{.}000 \ \mathrm{g} \end{align*}

Escala métrica

Além dos prefixos, podemos utilizar escalas métricas para representarmos os valores. A escala curta, mostrada na Tabela 3, é a mais utilizada em nosso país.

Tabela 3. Algumas representações da escala curta.
Nome Valor
trilhão $10^{12}$
bilhão $10^9$
milhão $10^6$
mil $10^3$
cem $10^2$
dez $10^1$
décimo $10^{-1}$
centésimo $10^{-2}$
milésimo $10^{-3}$
milionésimo $10^{-6}$
bilionésimo $10^{-9}$
trilionésimo $10^{-12}$
Fonte: BIPM, O Sistema Internacional de Unidades [1].

Veja um exemplo a seguir.

Exemplo 4

Um milhão de pessoas pode ser escrito como $1{.}000{.}000$ de pessoas.


Grandeza temporal

É muito comum encontrarmos outras unidades para o tempo além do segundo, como o minuto, a hora e o dia. Nesses casos, precisamos estar atentos à correta conversão para o SI conforme os valores expressos na tabela abaixo.

Tabela 4. Algumas grandezas temporais alternativas.
Unidade Símbolo Valor
minuto $\mathrm{min}$ $60 \ \mathrm{s}$
hora $\mathrm{h}$ $60 \ \mathrm{min}$
dia $\mathrm{dia(s)}$ $24 \ \mathrm{h}$
Fonte: BIPM, O Sistema Internacional de Unidades [1].

Observe um exemplo de utilização abaixo.

Exemplo 5

Uma partida de futebol comum, desconsiderando eventuais acréscimos, possui dois tempos de $45 \ \mathrm{min}$, totalizando $90 \ \mathrm{min}$ de jogo. Em horas, isso corresponde a $1{,}5 \ \mathrm{h}$.


O litro

Não podemos deixar de lado a grandeza volumétrica conhecida como litro, representada por $\mathrm{L}$ ou $\upell$. O litro, que também é aceito pelo SI, corresponde a um decímetro cúbico:

$$ 1 \ \upell = 1 \ \mathrm{dm}^3 \pt $$

Veja um exemplo de utilização abaixo.

Exemplo 6

Uma garrafa pet de dois litros é capaz de armazenar $2 \ \mathrm{dm}^3$ de água.


Análise dimensional no SI

A análise dimensional consiste no ato de encontrar a unidade de uma grandeza. Fazemos isso ignorando os números e colocando a grandeza entre colchetes para evidenciar suas unidades. Por exemplo, no SI, se $v$ for uma velocidade,

$$ [v] = \left.\mathrm{m}\middle/\mathrm{s}\right. \vg $$

que deve ser lido como: "a unidade (ou a dimensão) de $v$ é metros por segundo".

Por outro lado, se estivermos trabalhando com letras em equações ou funções, podemos explicitar a unidade entre parênteses logo após a expressão. Observe:

$$ v = 9{,}8 \, t \ \ \mathrm{(m/s)} \vg $$

e, da mesma forma, $[v]=\left.\mathrm{m}\middle/\mathrm{s}\right.$.

Como já mencionado acima, na análise dimensional devemos desconsiderar os fatores de origem puramente numérica. Dito isso, para exemplificar, se considerarmos que o diâmetro $d$ de um círculo é igual ao dobro do raio $r$,

$$ d = 2 r \vg$$

teremos no SI que $ [r] = [d] = \mathrm{m}$.

Exemplo 7

Seja $L$ uma medida de comprimento. A área $A$ de um objeto é obtida através do produto entre duas medidas de comprimento. Dessa forma,

\begin{align*} [A] &= [L][L] \\ &= [L]^2 \pt \end{align*}

No SI, por se tratar de um comprimento, $[L]= \mathrm{m}$, portanto:

$$ [A] = \mathrm{m}^2 \pt $$

Seguindo a mesma ideia, o volume $V$ de um objeto é dado através do produto entre três medidas de comprimento. Com isso, podemos denotar a unidade de $V$ de diversas formas:

\begin{align*} [V] &= [L][L][L] \\ &= [L][L]^2 \\ &= [L][A] \\ &= [L]^3 \pt \end{align*}

Portanto, no SI,

$$ [V] = \mathrm{m}^3 \pt $$

Exemplo 8

No SI, a energia cinética $E_\text{c}$ é comumente expressa em joule, $[E_\text{c}]=\mathrm{J}$. A fórmula dessa energia é igual à metade do produto entre a massa $m$ e o quadrado da velocidade $v$,

$$ E_\text{c}=\frac{m v^2}{2} \pt $$

Uma vez que na análise dimensional desconsideramos os fatores puramente numéricos, podemos concluir que, no SI, a unidade joule é também representada como:

\begin{align*} [E_\text{c}] &= [m][v]^2 \\ &= \mathrm{kg} \!\cdot\! \frac{\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}^2} \pt \end{align*}

Portanto:

$$ 1 \ \mathrm{J} = 1 \ \mathrm{kg} \!\cdot\! \left. \mathrm{m}^2 \middle/ \mathrm{s}^2 \right. \vg $$

ou, equivalentemente,

$$ 1 \ \mathrm{J} = 1 \ \mathrm{kg} \, \mathrm{m}^2 \, \mathrm{s}^{-2} \pt $$

Exemplo 9

No SI, a energia potencial elástica $E_\text{pel}$ é comumente expressa em joule, $[E_\text{pel}]=\mathrm{J}$. Sabendo que a energia potencial elástica é metade do produto entre uma constante $k$ e o quadrado do comprimento de deformação $x$,

$$ E_\text{pel}=\frac{k x^2}{2} \vg $$

podemos concluir que a unidade da constante $k$ pode ser representada como:

\begin{align*} [k] &= \left. [E_\text{pel}] \middle/ [x]^2 \right. \\ &= \left. \mathrm{J} \middle/ \mathrm{m}^2 \right. \pt \end{align*}

Sabemos do Exemplo 8 que $1 \ \mathrm{J} = 1 \ \mathrm{kg} \, \mathrm{m}^2 \, \mathrm{s}^{-2}$, então, no SI, a unidade de $k$ pode também ser representada como

\begin{align*} [k] &= \left. \mathrm{J} \middle/ \mathrm{m}^2 \right. \\ &= \mathrm{kg} \!\cdot\! \frac{\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}^2 \!\cdot\! \mathrm{m}^2} \\ &= \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{s}^2} \\ &= \mathrm{kg} \, \mathrm{s}^{-2} \pt \end{align*}

Ainda, na análise dimensional devemos sempre dar uma atenção especial para unidades que estão elevadas a alguma potência, como nas medidas de área (comprimento ao quadrado), volume (comprimento ao cubo) e etc. Uma unidade que está elevada a uma potência possui seus prefixo e escala também elevados à potência, como pode ser visto nos exemplos que seguem.

Exemplo 10
\begin{align*} 1 \ \upmu\mathrm{m}^2 &= 1 \times (10^{-6} \ \mathrm{m})^2 \\ &= 1 \times (10^{-6})^2 \ \mathrm{m}^2 \\ &= 1 \times 10^{-12} \ \mathrm{m}^2 \end{align*}

Exemplo 11
\begin{align*} 1 \ \mathrm{km}^3 &= 1 \times (10^{3} \ \mathrm{m})^3 \\ &= 1 \times (10^{3})^3 \ \mathrm{m}^3 \\ &= 1 \times 10^{9} \ \mathrm{m}^3 \end{align*}

Exemplo 12
\begin{align*} 1 \ \mathrm{ms}^{-1} &= 1 \times (10^{-3} \ \mathrm{s})^{-1} \\ &= 1 \times (10^{-3})^{-1} \ \mathrm{s}^{-1} \\ &= 1 \times 10^{3} \ \mathrm{s}^{-1} \end{align*}

Exemplo 13
\begin{align*} 1 \ \upell &= 1 \ \mathrm{dm}^3\\ &= 1 \times (10^{-1} \ \mathrm{m})^{3} \\ &= 1 \times (10^{-1})^3 \ \mathrm{m}^{3} \\ &= 1 \times 10^{-3} \ \mathrm{m}^{3} \end{align*}

Palavras finais

Convença-se dos casos contidos em todos os exemplos; é a partir deles que criaremos os fundamentos necessários para trabalharmos com diversas unidades e grandezas.

Para fixar o conteúdo desse resumo, resolva uma lista de exercícios sobre unidades físicas e prefixos. Bons estudos.

Referências

[1] a b c d BIPM. O Sistema Internacional de Unidades. Tradução de Grupo de Trabalho luso-brasileiro do Inmetro e IPQ. Brasília, 2021. 114 p. (título original: Le Système international d'unités. Paris, 2019. 9 ed. 216 p.). Disponível em: <https://www.gov.br/inmetro/pt-br>. Acesso em: 03 abr. 2024.



Nenhum comentário:

Postar um comentário